2.6.Лінійні рівняння го порядку, які зводяться до рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

Оскільки лінійне однорідне рівняння зі сталими коефіцієнтами завжди інтегрується, якщо відомі усі корені характеристичного рівняння, то резонно поставити питання про можливість зведення лінійного однорідного рівняння зі змінними коефіцієнтами до рівняння зі сталими коефіцієнтами за допомогою заміни незалежної змінної або шуканої функції.

Розглянемо лінійне однорідне рівняння

. (2.6.1)

Зробимо заміну змінної

.

Тоді

,

,

………………………………..

.

Рівняння (2.6.1) перетвориться у таке:

.

Звідки

. (2.6.2)

Зрозуміло, що функцію треба вибрати так, щоби коефіцієнт при був сталим. Покладемо

.

Тоді

.

Звідки

.

Отже, якщо рівняння (2.6.1) зводиться до рівняння зі сталими коефіцієнтами за допомогою заміни незалежної змінної, то тільки за формулою

(2.6.3)

Завжди можна взнати за коефіцієнтами рівняння (2.6.1), чи зводиться воно за допомогою заміни (2.6.3) до рівняння зі сталими коефіцієнтами. Переконаємося у цьому на прикладі рівняння другого порядку. Зробимо у рівнянні

(2.6.4)

заміну

.

Знаходимо похідні

,

.

Підставивши ці похідні у рівняння, одержуємо

або

.

Коефіцієнт при буде сталим тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти рівняння (2.6.4) задовольняють умову

.

Легко побачити, що для рівняння третього порядку одержимо дві необхідні та достатні умови, …., для рівняння го порядку – умови.

Лінійне рівняння Ейлера.

Лінійне рівняння

, (2.6.5)

де сталі дійсні числа, називають рівнянням Ейлера.

Розв’язуючи це рівняння стосовно , ми бачимо що точка є особливою точкою. Проте усі умови теореми існування та єдиності виконуються у кожному з проміжків та .

Побудуємо загальний розв’язок рівняння Ейлера для . Оскільки , то згідно з формулою (2.6.3)

.

Поклавши , одержуємо підстановку

або .

Тоді

,

……………………………………………

.

Підставляючи одержані похідні у рівняння (2.6.5) і замінюючи на , ми одержимо лінійне однорідне рівняння

(2.6.6)

го порядку зі сталими коефіцієнтами. Знайшовши вже відомими методами загальний розв’язок цього рівняння і поклавши у ньому , ми одержимо загальний розв’язок рівняння Ейлера.

Приклад 1.

.

Покладемо . Тоді . Підставляємо у рівняння

або

.

.

Отож,

.

Загальний розв’язок вихідного рівняння Ейлера має вигляд

.

Приклад 2.

.

Заміна зводить це рівняння до вигляду

.

.

,

.

Зауваження. Оскільки розв’язки рівняння (2.6.6) ми шукали у вигляді , то, очевидно, розв’язки рівняння Ейлера можна шукати у вигляді . Тоді

і характеристичне рівняння матиме вигляд

.

Рівняння Чебишева. Рівняння вигляду

називають рівнянням Чебишева.

Це рівняння має дві особливі точки та . У кожному з проміжків виконуються умови теореми існування та єдиності.

Побудуємо загальний розв’язок для . Згідно з формулою (2.6.3) маємо

.

Покладемо . Тоді

або .

Обчислимо похідні

.

Підставивши ці похідні у рівняння, одержимо

.

Оскільки це рівняння має загальний розв’язок

,

то загальний розв’язок рівняння Чебишева має вигляд

.

Зведення лінійного рівняння до рівняння зі сталими коефіцієнтами за допомогою заміни шуканої функції.

У деяких випадках можна звести лінійне рівняння до рівняння зі сталими коефіцієнтами за допомогою лінійної заміни шуканої функції, яка не порушить лінійності рівняння. Продемонструємо цю методику на прикладі рівняння Бесселя. Воно має вигляд

.

Зауважимо, що є особлива точка цього рівняння. Теорема існування та

єдиності виконується у кожному з проміжків та . Ми будемо розглядати проміжок . Зробимо заміну шуканої функції

,

де нова шукана функція, а поки що невизначена два рази диференційована функція. Спробуємо підібрати так, щоби рівняння стосовно було зі сталими коефіцієнтами. Знаходимо похідні

,

.

Підставляючи ці похідні у рівняння Бесселя, одержуємо

.

або

.

Виберемо так, щоби коефіцієнт при був сталий. Покладемо

.

Тоді

.

За таким вибором коефіцієнт при дорівнюватиме . Тому зрозуміло, що рівняння Бесселя зведеться до рівняння зі сталими коефіцієнтами лише тоді, коли у ньому . Покладаючи ще , ми одержуємо, що відповідне рівняння Бесселя

(2.6.7)

заміною

зводиться до рівняння

.

Оскільки є лінійно незалежні частинні розв’язки цього рівняння, то рівняння (2.6.7) матиме лінійно незалежні частинні розв’язки вигляду

.

Помноживши ці розв’язки на , ми одержимо так звані функції Бесселя

.

Загальний розв’язок рівняння (2.6.7) має вигляд

.