5. Лінійні рівняння го порядку зі сталими коефіцієнтами.

Ми вже знаємо, що для того, щоб побудувати загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння, треба знати фундаментальну систему розв’язків відповідного однорідного рівняння. Розглянемо деякі класи рівнянь, для яких це можна зробити. До таких рівнянь відносяться лінійні рівняння зі сталими коефіцієнтами. Розглянемо таке рівняння

, (2.5.1)

де дійсні числа.

Шукаємо розв’язок рівняння (2.5.1) у вигляді , де поки що невідоме стале число. Знаходимо похідні

.

Підставляємо функцію та її похідні у рівняння (2.5.1)

.

Оскільки , то функція може бути розв’язком рівняння (2.5.1) тоді і тільки тоді, коли . Отож, повинно бути коренем рівняння

, (2.5.2)

яке назива.ють характеристичним рівнянням. Корені цього рівняння називають характеристичними числами рівняння (2.5.1). Розглянемо три випадки.

1. Нехай характеристичні числа дійсні та різні. Позначимо їх . Кожному такому числу відповідає частинний розв’язок рівняння (2.5.1)

. (2.5.3)

Покажемо, що ці розв’язки утворюють фундаментальну систему. Для цього утворюємо визначник Вронського

.

Останній визначник є відомий визначник Вандермонда. Він дорівнює

,

Тому не обертається в нуль, якщо всі корені рівняння (2.5.2) різні. Отож, система (2.5.3) – фундаментальна. Загальний розв’язок рівняння (2.5.1) має вигляд

.

2. Рівняння (2.5.2) має комплексний корінь . Оскільки коефіцієнти цього рівняння дійсні, то воно має і спряжений корінь . Цим кореням відповідають два частинні розв’язки

. (2.5.4)

Ці розв’язки є комплекснозначними функціями дійсної змінної .

Будь-яка комплекснозначна функція дійсної змінної може бути представлена у вигляді

,

де та – дійсні функції дійсної змінної.

Лема. Якщо комплекснозначна функція є розв’язком лінійного однорідного рівняння , то кожна з функцій та також буде розв’язком цього рівняння.

Використовуючи властивості лінійного оператора, одержуємо

.

Оскільки комплексне число дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дорівнюють нулю його дійсна та уявна частини. Тому

.

Лема доведена.

Скористаємося цією лемою для перетворення функцій (2.5.4). Згідно з формулою Ейлера матимемо

.

.

Згідно з лемою ми одержуємо таке твердження: комплексному кореню відповідають два дійсних розв’язки рівняння (2.5.1)

.

Легко переконатися, що ці розв’язки є лінійно незалежними.

Комплексному кореню також відповідають два дійсних розв’язки

.

Але ці розв’язки є з першою парою лінійно залежні. Кожній парі комплексно спряжених коренів відповідає два дійсних лінійно незалежних розв’язки.

3. Розглянемо випадок кратних коренів характеристичного рівняння. Нехай характеристичний корінь кратності . Тоді

. (2.5.5)

Диференціюємо тотожність

за змінною раз.

.

.

Тут ми скористалися формулою Лейбніца. Отож, маємо тотожність

.

Покладемо . Якщо ,то, враховуючи (2.5.5), матимемо

.

Це означає, що характеристичному кореню кратності відповідає частинних розв’язків

.

Ці розв’язки є лінійно незалежними.

Якщо характеристичне рівняння має комплексний корінь кратності , то воно має ш спряжений корінь такої же кратності. Кореню відповідає комплекснозначних розв’яхзків

.

Відділивши у них дійсні та уявні частини, ми одержимо дійсних розв’язків

Приклад 1.

.

Характеристичне рівняння має корені . Фундаментальна система . Загальний розв’язок

.

Приклад 2.

.

Характеристичне рівняння має корені .

Фундаментальна система

.

Загальний розв’язок

.

Приклад 3.

.

Характеристичне рівняння має комплексні корені .

Фундаментальна система

.

Загальний розв’язок

.

Приклад 4.

.

Характеристичне рівняння

або

має корінь кратності 3. Фундаментальна система

.

Загальний розв’язок

.

Приклад 5.

.

Характеристичне рівняння

або .

Його корені

.

Фундаментальна система

.

Загальний розв’язок

.

Лінійне неоднорідне рівняння зі сталими коефіцієнтами.

Розглянемо рівняння

. (2.5.6)

Оскільки для рівняння зі сталими коефіцієнтами ми можемо знайти фундаментальну систему розв’язків, то загальний розв’язок неоднорідного рівняння (2.5.6) ми завжди можемо знайти з допомогою квадратур методом варіації сталих.

Для деяких частинних випадків функції частинний розв’язок неоднорідного рівняння можна знайти без квадратур. У таких випадках, додаючи цей частинний розв’язок до загального розв’язку відповідного однорідного рівняння, ми одержимо загальний розв’язок неоднорідного рівняння без квадратур.

Лема. Нехай права частина рівняння (2.5.6) є сумою двох функцій, тобто маємо рівняння

. (2.5.7)

Якщо частинний розв’язок рівняння , а частинний розв’язок рівняння , то функція є частинним розв’язком рівняння (2.5.7).

Справді, маємо

.

Оскільки і , то

.

Лема доведена.

Знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння методом невизначених коефіцієнтів.

Нехай , де

.

Розглянемо два випадки.

1. не є коренем характеристичного рівняння, тобто . У цьому випадку частинний розв’язок неоднорідного рівняння треба шукати у вигляді

,

де

многочлен степеня з невизначеними коефіцієнтами. Частинний розв’язок має таку саму структуру як права частина рівняння .

Підставляємо у рівняння (2.5.6)

.

Скористаємося формулами

Тоді

…+

.

Скорочуючи на і прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , одержуємо систему для знаходження невизначених коефіцієнтів

(2.5.8)

Оскільки , то коефіцієнти послідовно визначаються з системи (2.5.8), причому однозначно.

2. Нехай тепер є коренем характеристичного рівняння кратності . Тоді

.

У цьому випадку частинний розв’язок шукаємо у вигляді

.

Підставляємо цю функцію у рівняння (2.5.6)

або

.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , одержуємо систему

З цієї системи усі невизначені коефіцієнти знаходяться послідовно та однозначно, оскільки .

Розглянемо випадок, коли права частина рівняння (2.5.6) має вигляд

, (2.5.9)

де і поліноми степеня рівного або меншого ніж , причому хоча би один з них був степеня . Замінимо та за допомогою формул Ейлера

.

Тоді

,

де та поліноми степеня рівного або меншого , тобто є сумою двох доданків вигляду, який ми вже вивчили. Враховуючи доведену лему, розглянемо два випадки.

1. Якщо не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок можна знайти у вигляді

,

де та поліноми степеня з невизначеними коефіцієнтами.

2. Якщо є коренем характеристичного рівняння кратності , то частинний розв’язок можна знайти у вигляді

.

Відділяючи дійсні та уявні частини, остаточно одержуємо правило побудови частинного розв’язку лінійного неоднорідного рівняння (2.5.6) з правою частиною (2.5.9).

1. Якщо не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок можна знайти у вигляді

,

де та поліноми степеня з невизначеними коефіцієнтами.

2. Якщо є коренем характеристичного рівняння кратності , то частинний розв’язок можна знайти у вигляді

.

В обох випадках невизначені коефіцієнти знаходяться після підстановки у рівняння (2.5.6).

Розглянемо приклади знаходження загальних розв’язків лінійних неоднорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

Приклад 1.

.

Характеристичне рівняння має вигляд

, .

Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд

.

Оскільки число не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

.

Тоді

.

Підставляємо ці похідні у рівняння.

. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , одержимо систему

Звідки . Отож, . Загальний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд

.

Приклад 2.

.

.

Оскільки 0 є простим коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

.

.

Підставляємо у рівняння

.

Звідки

.

.

Приклад 3.

.

.

Оскільки число 2 не є коренем характеристичного рівняння, то

.

.

.

Приклад 4.

.

Оскільки у цьому випадку число 1 є простим коренем характеристичного рівняння, то

.

.

.

.

Приклад 5.

.

.

.

Оскільки число 2 є коренем характеристичного рівняння кратності 2, то

.

.

.

.

Приклад 6.

.

.

Права частина рівняння складається з двох доданків, тому для побудови частинного розв’язку треба шукати окремо частинний розв’язок рівняння з правою частиною і окремо з правою частиною .

Шукаємо частинний розв’язок рівняння

у вигляді . Тоді .

.

Шукаємо частинний розв’язок рівняння

у вигляді .

,

.

.

.

.

Приклад 7.

.

.

,

.

.

Приклад 8.

.

.

,

.

.

.

.

Приклад 9.

.

.

.

Підставляємо у рівняння

.

.

Приклад 10.

Вказати вигляд частинного розв’язку рівняння

.

.

Оскільки є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок треба шукати у вигляді

.

Приклад 11.

Визначити вигляд частинного розв’язку рівняння

.

Оскільки число є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукатимемо у вигляді

.