2.4. Лінійні рівняння го порядку.

Лінійним рівнянням го порядку називають рівняння

. (2.4.1)

Функції називають коефіцієнтами рівняння, а функцію правою частиною. Якщо , то рівняння називають лінійним однорідним, у протилежному випадку – неоднорідним. Стосовно коефіцієнтів та правої частини припускаємо, що вони є неперервними у проміжку . Рівняння (2.4.1) можна переписати так:

.

Задамо початкові умови

. (2.4.2)

Функція є неперервною функцією змінної у проміжку і при будь-яких змінних .

Частинні похідні , є неперервними функціями у проміжку .

Згідно з теоремою Коші задача (2.4.1) – (2.4.2) має єдиний розв’язок в деякому проміжку .

Приймемо без доведення таку теорему:

Теорема 2.3. Задача (2.4.1) – (2.4.2) при накладених умовах на коефіцієнти і праву частину має єдиний розв’язок у проміжку .

Цією теоремою користуватимемося в подальшому.

Загальна теорія лінійного однорідного рівняння.

Розглянемо лінійне однорідне рівняння

. (2.4.3)

Через ми тут скорочено позначили результат застосування до функції сукупності операцій (диференціювання, множення на функції і додавання). Будемо називати лінійним диференціальним оператором. Лінійний оператор має дві важливі властивості.

1. , де довільні функції, які мають неперервні похідні до го порядку включно.

2. , де довільна стала, а довільна раз неперервно диференційована функція.

Теорема 2.4. Якщо та – частинні розв’язки лінійного однорідного рівняння (2.4.3), то їх сума також буде розв’язком цього рівняння.

Доведення. Оскільки та – розв’язки рівняння , то , . Тому, врахувавши першу властивість лінійного оператора, маємо .

Отже, є також розв’язком рівняння .

Теорема 2.5. Якщо є розв’язком рівняння , то також буде розв’язком цього рівняння при довільному сталому .

Доведення. Оскільки частинний розв’язок рівняння , то .

Тому, врахувавши другу властивість лінійного оператора, маємо

.

Отже, також буде розв’язком рівняння .

Наслідок. Якщо частинні розв’язки рівняння , то функція також буде розв’язком цього рівняння.

Цей розв’язок залежить від довільних сталих.. Постає питання: якими повинні бути частинні розв’язки, щоби ця функція була загальним розв’язком лінійного однорідного рівняння ?. Введемо поняття лінійної залежності та незалежності функцій.

Означення. Функції , визначені у проміжку називають лінійно залежними у цьому проміжку, якщо існують такі сталі , не усі рівні нулю, що для усіх виконується тотожність

.

Якщо ця тотожність можлива тільки тоді, коли усі дорівнюють нулю, то ці функції називають лінійно незалежними у цьому проміжку.

Приклад 1. Функції лінійно незалежні в інтервалі , а також у довільному скінченому проміжку. Якщо допустити протилежне, то ми одержуємо рівність

,

причому не усі дорівнюють нулю. Але одержана рівність є рівнянням степеня не вище ніж , вона може виконуватись не більше як для значень.

Приклад 2. Лінійно залежними є такі функції:

.

Справді, якщо покладемо , то одержуємо для усіх дійсних значень тотожність

.

Нехай маємо функцій , які мають неперервні похідні до го порядку.

Означення. Визначник

називають визначником Вронського функцій .

Теорема 2.6. Якщо функції лінійно залежні, то їх визначник Вронського тотожньо дорівнює нулю.

Доведення. Згідно умови лінійної залежності функцій виконується тотожність

,

де не усі дорівнюють нулю. Не порушуючи загальності, можемо вважати, що (інакше ми змінили б нумерацію функцій). Розв’яжемо останнє співвідношення стосовно .

.

Диференціюванням за змінною знаходимо

,

……………………………………

.

Помножимо перший стовпець визначника Вронського на , другого на ,…, го на і додамо до останнього. Величина визначника не зміниться, але останній стовпець нового визначника буде складатися з одних нулів. Отже, , що треба було довести.

Теорема 2.7. Якщо розв’язки лінійного однорідного рівняння лінійно незалежні в інтервалі , то їх визначник Вронського не обертається в нуль ні в одній точці цього інтервалу.

Доведення. Припустимо протилежне: нехай . Позначимо . Утворимо систему рівнянь

(2.4.4)

Розглядаючи систему (2.4.4) як лінійну систему стосовно величин , ми одержимо для її визначника значення . Оскільки ця система однорідна, то вона має ненульовий розв’язок. Позначимо цей розв’язок . Утворимо функцію

. (2.4.5)

Згідно з наслідком до теорем 2.4 і 2.5 ця функція є розв’язком рівняння (2.4.3). Враховуючи рівняння системи (2.4.4), ми можемо записати

. (2.4.6)

Початкові умови (2.4.6) згідно з теоремою існування та єдиності розв’язку задачі Коші визначають єдиний розв’язок рівняння (2.4.3). Але очевидно, що таким розв’язком є тривіальний розв’язок . Отож, в інтервалі . З рівності (2.4.5) одержуємо

для усіх , причому не всі дорівнюють нулю, тобто функції лінійно залежні, що суперечить умові теореми. Одержане протиріччя і доводить теорему.

Теореми 2.6 і 2.7 можна об’єднати у такому твердженні:

визначник Вронського системи розв’язків лінійного однорідного рівняння го порядку або тотожньо дорівнює нулю, або не обертається в нуль ні в одній точці того інтервалу, де коефіцієнти рівняння неперервні.

Означення. Будь-яка система з лінійно незалежних розв’язків лінійного однорідного рівняння (2.4.3) називається фундаментальною системою.

Теорема 2.8. Для будь-якого лінійного однорідного рівняння існує фундаментальна система.

Доведення. Візьмемо довільну систему чисел кількістю лише з однією умовою, щоби визначник, утворений з цих чисел, був відмінний від нуля. Запишемо цей визначник

.

Визначимо частинних розв’язків рівняння (2.4.3) початковими умовами . Розв’язки рівняння (2.4.3) з цими початковими умовами існують у всьому інтервалі . Але побудований визначник є визначником Вронського цієї системи розв’язків у точці . Маємо . Отже, функції лінійно незалежні, тобто утворюють фундаментальну систему.

Теорема 2.9. Якщо утворюють фундаментальну систему рівняння , то загальний розв’язок цього рівняння має вигляд

. (2.4.7)

Доведення. Згідно означення розв’язок, який містить довільних сталих, називають загальним, якщо з нього можна одержати довільний частинний розв’язок за певних числових значеннях сталих. Згідно з теоремою існування та єдиності розв’язку будь-який частинний розв’язок однозначно визначається початковими умовами

, (2.4.8)

де – довільні числа, і . Ми доведемо, що розв’язок (2.4.7) є загальним, якщо покажемо, що у формулі (2.4.7) можна сталі визначити так, щоби задовольнялися початкові умови (2.4.8). Підставимо умови (2.4.8) у формулу (2.4.7). Одержимо систему лінійних рівнянь.

(2.4.9)

Визначник системи (2.4.9) є визначник Вронського, визначений у точці . Оскільки розв’язки лінійно незалежні, то . Тому система (2.4.9) має єдиний розв’язок. Позначимо його . Тоді з формули (2.4.7) одержуємо частинний розв’язок

,

який задовольняє початкові умови (2.4.8). Теорема доведена.

Приклад. Рівняння , має, як легко перевірити, два частинні розв’язки . Щоби переконатися у лінійній незалежності цих розв’язків, утворюємо визначник Вронського

.

Отже, та складають фундаментальну систему і загальний розв’язок заданого рівняння має вигляд

.

Теорема 2.10. Якщо ми маємо частинних розв’язків лінійного однорідного рівняння го порядку, то вони є лінійно залежними.

Доведення. Розглянемо перші функцій . Якщо ці функції лінійно залежні, то теорема справедлива, тому що лінійна комбінація між функціями є частинний випадок лінійної комбінації між функціями, де сталий множник при дорівнює нулю. Якщо функції лінійно незалежні, то вони утворюють фундаментальну систему. Тоді загальний розв’язок має вигляд

.

З цього загального розв’язку можна одержати будь-який частинний розв’язок. Зокрема, для одержимо

,

де деякі конкретні сталі. Останню рівність можна переписати

.

Це іє шукана лінійна залежність. Теорема доведена.

Теорема 2.11. Якщо два лінійних однорідних рівняння

(2.4.10)

(2.4.11)

мають спільну фундаментальну систему, то вони тотожні між собою, тобто , .

Доведення. Віднімемо від рівняння (2.4.10) рівняння (2.4.11). одержимо нове рівняння го порядку

.

Якщо і не співпадають тотожньо, то в силу їх неперервності існує інтервал , в якому . Поділивши обидві частини останнього рівняння на , ми одержимо в інтервалі лінійне однорідне рівняння з коефіцієнтом при старшій похідній рівному одиниці. По самій побудові цього рівняння видно, що воно має ці ж самі розв’язки, що і рівняння (2.4.10) та (2.4.11). Тобто рівняння го порядку має лінійно незалежних розв’язків. Це суперечить теоремі 2.10. Тому . Ми одержуємо рівняння

.

Проводячи аналогічні міркування, доводимо, що

.

Наслідок. Фундаментальна система повністю визначає лінійне однорідне рівняння з старшим коефіцієнтом рівним одиниці.

Формула Остроградського-Ліувілля.

Розглянемо таку задачу: задана в інтервалі фундаментальна система ; побудувати відповідне диференціальне рівняння.

Для цього прирівняємо до нуля такий визначник

(2.4.12)

Розкладемо цей визначник за останнім стовпцем. Одержимо лінійне однорідне рівняння го порядку

.

При підстановці у це рівняння частинних розв’язків ми одержимо тотожності, тому що у визначнику (2.4.12) буде по два однакові стовпці.

Коефіцієнт при є визначник Вронського . Він, як відомо, не обертається в нуль ні в одній точці інтервалу . Поділивши на нього останнє рівняння, ми одержимо лінійне однорідне рівняння го порядку з коефіцієнтом при старшій похідній рівним одиниці. Згідно доведеного таке рівняння однозначно визначається фундаментальною системою. Отже, задача розв’язана.

Якщо вихідне рівняння мало вигляд

,

то, прирівнюючи коефіцієнти, одержуємо тотожність

.

Легко переконатися в тому, що визначник в чисельнику є похідною визначника Вронського, який міститься у знаменнику. Справді, похідна визначника дорівнює сумі визначників, у яких у першого у першому рядку функції замінені похідними, а інші не змінені, у другого у другому рядку перші похідні замінені другими похідними, і так далі, у му рядку –і похідні замінені похідними го порядку. Ми одержимо доданків у вигляді визначників, у яких є два рівні рядки. Ці визначники до-рівнюють нулю. Останній доданок і є визначник, який міститься у чисельнику для . Тоді

,

звідки

.

Підставивши у цю формулу , одержимо .

Отже,

. (2.4.13)

Формулу (2.4.13) називають формулою Остроградського-Ліувілля.

Застосуємо цю формулу для знаходження загального розв’язку рівняння другого порядку

,

у якого відомий один частинний розв’язок .

Утворюємо визначник і записуємо його значення за формулою (2.4.13)

.

Розкривши визначник, одержуємо для лінійне рівняння першого порядку

.

Поділивши обидві частини рівняння на , одержуємо

,

звідки знаходимо

.

Одержаний розв’язок містить дві довільні сталі, тому є загальним.

Приклад.

Розглянемо рівняння

.

Легко переконатися, що це рівняння має частинний розв’язок . У нашому випадку , тому

.

Це – загальний розв’язок заданого рівняння.

Пониження порядку лінійного однорідного рівняння.

Лінійне однорідне рівняння

(2.4.3)

належить до класу рівнянь однорідних стосовно невідомої функції та її похідних. Заміною його можна звести до рівняння порядку . Але одержане рівняння вже не буде лінійним і, отже, втрачає ті прості властивості, які має лінійне рівняння. Ми розглянемо метод пониження порядку, якщо відомий частинний розв’язок , тобто .

Зробимо заміну . Знаходимо похідні.

,

,

……………………………..

.

Підставляємо ці похідні у рівняння (2.4.3). Одержуємо

.

Стосовно ми маємо знову рівняння го порядку, але коефіцієнт при є , він тотожньо дорівнює нулю. Ми понизимо порядок, зробивши заміну . Розділивши усі члени останнього рівняння на , одержимо рівняння

. (2.4.14)

Рівняння (2.4.14) є лінійним порядку . Функція через виразиться так:

.

Якщо ми знайдемо фундаментальну систему рівняння (2.4.14) , то відповідна система для рівняння (2.4.3) виглядатиме так:

.

Неоднорідні лінійні рівняння.

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння

. (2.4.1)

Стосовно коефіцієнтів і правої частини припускаємо, що вони неперервні в інтервалі .

Теорема 2.12. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння складається з суми загального розв’язку відповідного однорідного рівняння та будь-якого частинного розв’язку неоднорідного рівняння.

Доведення. Припустимо, що нам відомий деякий частинний розв’язок неоднорідного рівняння. Тоді . Зробимо заміну

. (2.4.15)

Підставляючи функцію (2.4.15) в рівняння (2.4.1), одержимо

.

Оскільки , то для знаходження невідомої функції одержуємо лінійне однорідне рівняння , яке відповідає неоднорідному рівнянню (2.4.1). Якщо відома фундаментальна система цього рівняння , то його загальний розв’язок має вигляд

.

Підставимо його у формулу (2.4.15)

. (2.4.16)

Функція (2.4.16) є розв’язком рівняння (2.4.1). Треба довести, що це – загальний розв’язок. Для цього треба показати, що з формули (2.4.16) можна одержати довільний частинний розв’язок рівняння (2.4.1). Задамо довільні початкові умови

.

Ці початкові умови єдиним чином визначають деякий частинний розв’язок рівняння (2.4.1). Покажемо, що цей розв’язок міститься у формулі (2.4.16).

Продиференціюємо функцію (2.4.16) і використаємо початкові умови. Одержимо систему

(2.4.17)

Визначник цієї системи є визначник Вронського фундаментальної системи . Тому система (2.4.17) має єдиний розв’язок. Позначимо його і підставимо у формулу (2.4.16).

.

Це і буде шуканий частинний розв’язок. Теорема доведена.

Теорема 2.13 (метод варіації сталих). Якщо відома фундаментальна система відповідного лінійного однорідного рівняння, то загальний розв’язок неоднорідного рівняння можна знайти з допомогою квадратур.

Доведення. Загальний розв’язок відповідного лінійного рівняння має вигляд

.

Застосуємо метод, який належить Лагранжу і який називають методом варіації сталих. Він полягає в тому, що ми розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у такому вигляді як загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння, тільки будуть невідомими функціями змінної , тобто

. (2.4.18)

Для визначення невідомих функцій ми маємо тільки одне рівняння (2.4.1), тому ще умову можемо задати довільно. Задамо ці умови так, щоби вирази для похідних функції мали найпростіший вигляд.

Диференціюємо (2.4.18).

.

Накладаємо на функції першу умову.

. (2.4.19)

Тоді

Знаходимо другу похідну.

.

Накладаємо другу умову.

. (2.4.20)

Тоді

.

Продовжуючи аналогічно, на му кроці ми задаємо останню умову

. (2.4.21)

Вираз для матиме вигляд

.

Диференціюємо

Підставляючи вирази для в рівняння (2.4.1), одержимо

.

Множники при дорівнюють нулю, оскільки це є , і ми одержуємо останнє рівняння для визначення .

. (2.4.22)

Ми одержали неоднорідну систему лінійних рівнянь (2.4.19), (2.4.20), (2.4.21), (2.4.22) для визначення невідомих . Визначник цієї системи є визначник Вронського фундаментальної системи, тому він не обертається в нуль ні в одній точці. Отож, система має єдиний розв’язок

,

звідки квадратурами знаходимо

,

де – нові довільні сталі.

Підставляючи знайдені функції у формулу (2.4.18), ми одержимо загальний розв’язок рівняння (2.4.1).

.

Теорема доведена.