Розділ 1. Рівняння першого порядку

1.1. Рівняння першого порядку, розв’язані стосовно похідної

Це рівняння такого вигляду

.

Його можна записати ще у такому вигляді

Оскільки такі рівняння при будь-якій функції не інтегруються в квадратурах, розглянемо типи рівнянь, які можна проінтегрувати.

1. Рівняння з відокремлюваними змінними

Рівняння вигляду

(1.1.1)

називають рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо його можна записати у вигляді

. (1.1.2)

Відокремимо змінні у рівнянні (1.1.2). Для цього поділимо рівняння (1.1.2) на , вважаючи, що та . Одержимо

. (1.1.3)

Рівняння (1.1.3) вже можна інтегрувати

(1.1.4)

Формула (1.1.4) дає загальний інтеграл рівняння (1.1.2).

При відокремлюванні змінних ми могли втратити частинні розв’язки рівняння (1.1.2), які одержують при розв’язуванні рівнянь та .

Якщо диференціальне рівняння має вигляд

, (1.1.5)

то його називають рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо праву частину можна записати у вигляді . Тоді, відокремлюючи змінні, одержимо

Останню рівність вже можна інтегрувати.

Приклад 1.

.

Відокремлюючи змінні, одержимо

Про інтегруємо останню рівність, позначивши довільну сталу через для зручності подальших перетворень.

, де .

Потенціюючи, знаходимо , звідки

Оскільки змінюється від до , то пробігає ті ж самі значення, що і . Тому знак – в останній рівності можемо опустити. При відокремленні змінних ми втратили розв’язок , який одержуємо при . Остаточно загальний розв’язок приймає вигляд .

Приклад 2.

.

Відокремлюючи змінні, одержимо

.

Інтегруючи, знаходимо загальний інтеграл

.

Приклад 3.

.

Відокремлюємо змінні

.

Інтегруємо

.

Звідки .

Остаточно .

Рівняння вигляду зводяться до рівняння з відокремлюваними змінними заміною . Дійсно, , тобто . Останнє рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними.

Приклад 4.

.

Заміна . Тоді . Одержуємо рівняння . Відокремлюємо змінні

Інтегруємо

.

Отже,

.

Враховуючи заміну, остаточно одержимо

.

2. Однорідні рівняння і ті, що зводяться до них

Означення. Функцію називають однорідною степеня , якщо вона за будь-якого задовольняє рівність

.

Означення. Рівняння

(1.1.6)

називають однорідним, якщо функції і є однорідними функціями однакового степеня, тобто

.

Якщо прийняти , то одержимо

.

Зробимо заміну . Тоді . Підставляємо в рівняння (1.1.6)

.

Скоротивши на і згрупувавши члени, які залишилися, одержимо

(1.1.7)

Рівняння (1.1.7) – рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюємо змінні

.

Інтегруючи, знаходимо

,

, де .

Замінивши на , одержимо загальний інтеграл рівняння (1.1.6)

.

Приклад 5.

.

Приймемо . Одержимо

.

Інтегруючи, знаходимо

.

Повертаємося до змінної , покладаючи ,

,

.

Остаточно

.

Означення. Рівняння називають однорідним, якщо функція є однорідною нульового степеня.

Приклад 6.

.

Рівняння однорідне. Робимо заміну . Рівняння приймає вигляд

або .

Відокремлюємо змінні

.

Розкладаємо другий доданок на прості дроби

.

Звідки . Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , одержимо систему рівнянь

.

Інтегруємо

або .

Підставивши значення , остаточно одержимо

.

Рівняння, які зводяться до однорідних.

Розглянемо спочатку рівняння

(1.1.8)

Якщо , то рівняння (1.1.8) є однорідним, і ми вміємо його інтегрувати. В загальному випадку спробуємо звести це рівняння до однорідного. Вводимо нові змінні

(1.1.9)

де і поки що невизначені сталі. Диференціюючи (1.1.9), маємо

.

Тоді рівняння (1.1.8) запишеться у вигляді

.

Якщо тепер вибрати і як розв’язок лінійної системи

(1.1.10)

то одержимо однорідне рівняння

Зробивши заміну , ми це рівняння зведемо до рівняння з відокремлюваними змінними. Знаходимо загальний інтеграл і замінюємо в ньому на , на . Ми одержимо загальний інтеграл рівняння (1.1.8).

Система (1.1.10) не має розв’язку, якщо визначник системи дорівнює нулю, тобто . В цьому випадку запропонований метод не годиться. Але , тому рівняння (1.1.8) запишеться у вигляді

.

Заміною ми це рівняння легко зводимо до рівняння з відокремлюваними змінними.

Рівняння (1.1.8) є частинним випадком більш загального рівняння вигляду

.

Розв’язується це рівняння таким самим методом.

Приклад 7.

.

Робимо заміну

.

Для визначення сталих та маємо систему

Звідки . Отже, .

Однорідне рівняння має вигляд

.

Зробимо заміну .

Тоді

,

.

Відокремлюємо змінні

.

Інтегруємо

.

Звідки . Оскільки , то . Враховуючи, що , одержимо

.

Остаточно

.

Приклад 8.

.

Зробимо заміну . Тоді . . Підставляємо у рівняння

,

.

Відокремлюємо змінні

.

Інтегруючи, одержимо

.

Оскільки , то

.

Остаточно

.

Узагальнені однорідні рівняння.

Означення. Рівняння (1.1.6) називають узагальненим однорідним, якщо існує таке число , що ліва частина рівняння стає однорідною функцією стосовно величин за умови, що вони вважаються величинами відповідно першого, го, нульового та го виміру, тобто, якщо для всіх виконується рівність

.

Якщо покладемо , то одержимо

.

Зробимо заміну . Тоді узагальнене однорідне рівняння стає рівнянням з відокремлюваними змінними.

.

Відокремлюючи змінні, одержуємо

.

Інтегруючи, знаходимо , де .

Повертаючись до шуканої функції , одержуємо загальний інтеграл вихідного рівняння

.

Приклад 9.

Розглянемо рівняння

.

Прирівнюючи виміри усіх членів за припущенням, що є величини відповідно першого, го, нульового та го вимірів, одержуємо систему

.

Ця система сумісна, . Отож, задане рівняння є узагальненим однорідним. Для його інтегрування треба зробити заміну . Тоді . Рівняння запишеться у вигляді

.

Звідки

.

Відокремлюємо змінні

.

Інтегруючи, знаходимо

,

Звідки

.

Повертаючись до функції , одержимо загальний розв’язок рівняння у вигляді

.

Приклад 10.

Розглянемо рівняння

.

Передусім треба вибрати так, щоби вираз мав такий же вимір, як , тобто нульовий. Отже, треба вибрати з умови , звідки . Легко переконатися, що тоді всі члени рівняння мають один вимір, який дорівнює . Робимо заміну . Тоді

або

.

Відокремлюємо змінні

.

Про інтегрувавши, одержимо

.

Оскільки , то загальний інтеграл вихідного рівняння має вигляд

.