7.5. Теория реального ветряка

1. Работа элементарных лопастей ветроколеса.

Первое уравнение связи

Выделим из лопастей ветроколеса двумя концентрическими ок­ружностями с радиусами r и r+dr кольцевую поверхность dF = 2 • п • r • dr. Это кольцо на крыльях вырежет отрезки длиною dr, ко­торые называются элементарными лопастями (рис. 7.15). Через все точ­ки обеих окружностей проведем линии тока, образующие две поверхно­сти ABC, ABC бутылеобразной формы (рис. 7.16). Жидкость, заклю­чённую между этими поверхностями, назовём элементарной кольцевой струёй.

Сделаем предположение, обычно принимаемое в аналогичных теориях, что разность давлений по обе стороны ветрового колеса, дей­ствующая на площадь кольца, получающегося от пересечения ометае- мой плоскостью элементарной струи, воспринимается элементарными лопастями.

На основании этого составляем первое уравнение связи

2 •п r • dr • (p₁ - p₂) = i • (dY • cos в + dX • sin в), (7.5.1.1) где Y - подъемная сила крыла, направленная перпендикулярно потоку; X - сила сопротивления крыла (лобовое сопротивление крыла), направ­ленная по потоку; в - угол между плоскостью вращения ветроколеса и направлением воздушного потока, набегающего на крыло; i - число ло­пастей ветроколеса.

Рис. 7.15. Выделение элементарных лопастей на ветроколесе

Рис. 7.16. Элементарная кольцевая струя

Для определения направления сил, действующих на элементарную лопасть, изобразим ее сечение на рис. 7.17, где ось Z направлена по оси ветроколеса и ось x - x в плоскости его вращения; V - направление ско­рости ветра; W - направление скорости относительного потока, набе­гающего на элемент лопасти.

Рис. 7.17. План скоростей воздушного потока при набегании его

на элемент лопасти

Разложим силу dR, действующую на элементарную лопасть, на две силы: dX, действующую по потоку, и dY, направленную перпенди­кулярно потоку. Сила dX вызывает сопротивление элемента крыла; dY вызывает окружное усилие элемента крыла и называется подъёмной си­лой.

Вследствие вращения ветроколеса в плоскости x - x воздушный поток набегает на ветроколесо не со скоростью ветра V, а с относитель­ной скоростью W, которая слагается геометрически из скорости ветра V и окружной скорости о ■ r, где о угловая скорость иг - расстояние элемента лопасти от оси вращения ветроколеса.

Скорость потока, набегающего на элемент лопасти, в относитель­ном движении будет равна

(7.5.1.2)

где V = V - v₁ - скорость ветра в плоскости ветряка.

С корость и₁ получается как реакция от крутящего момента, разви­ваемого лопастями. Эта скорость имеет направление, обратное моменту; её величина берётся как средняя для всей зоны, в которой работают ло­пасти. В действительности эта скорость перед ветроколесом равна нулю и непосредственно за ветряком равна u₂. Так как закон изменения этой скорости неизвестен, то как первое приближение её принимают равной

(7.5.1.3)

Силы dY и dX можно выразить как:

d

(7.5.1.4)

Y = C ■ b ■ dr ^Р W², ^y 2

d

(7.5.1.5)

X = C ■ b ■ dr ^P W², ^x 2

где b - ширина, элемента лопасти по хорде.

К роме того, на основании уравнения для лобового давления на ветряк (по теории идеального ветряка Г.Х. Сабинина) можем написать

(7.5.1.6)

Подставляя вместо dY и dX и p₁ - р₂ их значения в уравнение (7.5.1.1), получим

2 ■ n ■ r^dr^ p ■ V ■ v₂ = i ■ b^dr ■C,,- ^PW² ■ cos в + b^dr^C_x- ^PW² sin в ■

(7.5.1.7)

После сокращения получим

2. •

   ^f C ^Л 1+C- • tg в

   v y

   п • r • V • у₂ = i • b • C_v cos в •

2. ^y 2

или

4. •

   (7.5.1.7б)

   п • r • V • v₂ = i • b • C_y • W² • cos в'

На основании рис. 7.5.1.3 можно ввести обозначение

о • r + и

(7.5.1.8)

ctg в

z..

V-у

которое называют числом относительных модулей.

Из уравнения (7.5.1.8) имеем:

-о • r-u₁ = -z_u • (V-у), (7.5.1.8а)

или

(о r-u1)² = zu² • (V-V)², (7.5.1.8б)

и зная, что V = V _- v₁, уравнение (7.5.1.2) можем переписать так:

W = V(V-у,)² + • (V-v,)² = (V-у)(7.5.1.9)

Заменим

(V -у) = (V-у) = 1

sin в cos в

(7.5.1.10)

(7.5.1.11)

(7.5.1.12)

^{(v -v}i⁾ • V¹+^z« V¹+^zi

W

о • r + u,

W

о • r + u

(^V-V1⁾ V¹ + ^zu²

tg в=

z..

Обратное качество крыла

C_x

= я.

^Cy

(7.5.1.13)

и подставим их в уравнение (7.5.1.7б): ⁴•*•г•^Vу = i•^b• C •^V-у⁾² •⁽ⁱ + ^z2)

f \ 1+p

V ^Zu J

(7.5.1.7в)

+ z,

Вводя в это уравнение e = -V и заменив v₂ его значением из ра-

2. V

венства v₂ = ^т, получим:

1+ ^У1/

/V

i ■b = 8 ■ п ■ r ^e Ц . (7.5.1.14)

⁽¹ + ^e)^⁽¹ + ^{e) (z}_u +_M⁾^¹ + ^z2_u Это уравнение называется уравнением связи, которое связывает ширину лопасти и коэффициент подъемной силы с деформацией пото­ка, характеризуемой величиной е.

Взяв сумму проекций сил элемента лопасти на касательную к ок­ружности, по которой он движется, получим окружное усилие, разви­ваемое элементарными лопастями

dQ = 1^Ь^г^^Pp■ W² ■ (C_y - sin в -C_x • cos в).

Подставляя сюда значение W, sin в и cos в, и вводя C_x = Ц ■ C_y, получим:

dQ = i^b'dr ■ ^pP'(V-v,)41 + z2)■ C_y ^l~-^^Zu. (7.5.1.15)

u

Подставляя сюда значение i^b^C из уравнения (7.5.1.14) и сделав сокращения, получим

dQ = 4 п r^dr^ p- — V~^Ц'^Zu . (7.5.1.16)

¹ + ^{е z}u +ц Момент относительно оси ветряка равен

dM = dQ ■ r = 4 п r² dr ■ p- —V² ■¹ ~^Ц'^Z . (7.5.1.17)

¹ + ^{e z}u +Ц

Секундная работа элементарных лопастей

dT = dM о = 4 п r^dr^p ■ — V^{3 1}~^Ц'^zu ■z. (7.5.1.18)

¹ + ^{e z}u +Ц

Секундная энергия далеко перед ветряком, заключенная в потоке, площадь сечения которого определяется площадью кольца, сметаемого элементарными лопастями, равна

• ³

dT₀ = 2 ■п r^dr^ p~~^. (7.5.1.18а)

Поделив секундную работу элементарных лопастей на эту энер­гию, получим элементарный коэффициент использования энергии ветра

_s=d_L = <1 • z. (7.5.1.19)

^dTo ¹ + ^{e z}u +M Умножив и разделив выражение (7.5.1.19) на 1 - e получим:

% = 4 • e • — • • _^. (7.5.1.19а)

1. + ^{e z}u +я ^{1 - e}

1. - e

Так как выражение 4 • e представляет идеальный коэффи-

1. + e

циент использования энергии ветра, то можем написать:

$ = ^ = £ п, (7.5.1.20)

^zu +М ^{1 - e}

где

п = ¹ ~ ^я •^zu • _!_ (7.5.1.21)

^zu +Я ^{1 - e}

называют относительным коэффициентом полезного действия эле­ментарного ветряка.

При большом числе модулей можно приблизительно считать

z

1. ^{= z}u ,

1-e

и тогда

П = ¹ ~^я•^zu • _!_. (7.5.1.21а)

^zu +М ^{1 - e}

Напомним, что числом модулей или быстроходностью ветро­двигателя, называют отношение окружной скорости конца лопасти к скорости ветра:

Z = Ю1.

V

Число модулей элементов лопастей на радиусе r равно

о • r

z = —. (7.5.1.22)

V

Число модулей для любого радиуса r ветряка с известной быстро­ходностью Z может быть выражено так:

r

z = Z • —, (7.5.1.23)

R

где R - радиус ветроколеса.