Вопрос 21 Случайная величина Бернули.

Случайная величина Х имеет распределение Бернули, если она принимает всего 2 значения 1 и 0 с вероятностями p и q=1-р соответственно. Таким образом: P(x=1)=p ; P(x=0)=q. Принято говорить, что событие {x=1} соответствует успеху, а {x=0} – неудаче. (P_n(m)=C_n^m p^m q^n-m), где n – число испытаний в серии; m - случайная величина(число появления числа А); P_n(m) – вероятность того, что А произойдёт именно m раз ; q=1-p (вероятность того, что m не появится в испытании).

Вопрос 22 Схема независимых испытаний Бернули.

n – количество испытаний ; p – успех ; q=1-p – неудача ; k – количество успехов. (P_n(k)=C_n^k *p^k *q^n-k ).

Вопрос 23 Биноминальная случайная вероятность.

Биноминальное распределение. Дискретная случайная величина Х имеет биноминальное распределение, если её закон распределения описывается формулой Бернулли: P(X=K)=P(n,k)=C_n^k p^k q^n-k. На практике биноминальное распределение возникает при следующих условиях; Пусть проводится серия из n-испытаний, в каждом из которых некоторое событие появляется с вероятностью p. Случайная величина Х, равная числу наступлений события в n-опытах, имеет биноминальное распределение MX=n ; DX=npq. Название объясняется тем, что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения Бинома Ньютона: (p+q)ⁿ=C_n^kp⁰qⁿ+C_n¹pq^n-1+..+C_n^kp^kq^n-k+C_n^mpⁿq⁰=1 ; p+q=1 т.е. Σⁿ_k=0 P_n(k)= Σⁿ_k=0 C_n^kp^kq^n-k=1.

Дискретная случайная величина, принимающие любые целые неотрицательные значения от 0 до n с вероятностями C_n^kp^kq^n-k называется биноминальной случайной величиной.

Вопрос 24 Локальная предельная и интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Применяются в случае, когда p и q не малы, а npq>9. Локальная. Если вероятность появляния события А в каждом из n (n→∞) независимых испытаний равна одной и той же постоянной p=const (0<p<1) то вероятность p(n,k) того, что во всех этих испытаниях событие А появится ровно k-раз, приближен, но вычисляется формулой: P(n,k)=1\√npq * φ(x), где х=k-np\√npq ; φ(x)= 1\√2п е^-х2\2 – кривая Гаусса.

Интегральная. Пусть вероятность появления события А в каждом из n(n→∞) независимых испытаний равна одной и той же постоянной p(0<p<1), то вероятность Р(n,k) того, что во всех этих испытаниях событие А появится не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближённо вычисляется формулой: P(n, k1≤k≤ k₂) (Ф(х₂) - Ф(х₁)), где Ф(х) = 2\√2п ∫₀^х ехр(- х²\2)dx.- формула Лапласа. Х₁=k₁-np\√npq ; x₂=k₂-np\√npq. ( p(k₁≤x≤k₂)=∫_u1^u2 f(u)du ).

Вопрос 25 Предельная теорема Пуассона и случайная величина Пуассона.

Распределение Пуассона. Соотношениями, описывающими биноминальное распределение, удобно пользоваться в тех случаях, если величина и достаточно мала, а р велико.

Теорема: Если, n→∞_, а p→0 так, что np=a(0<a<∞)_, то P{X=k}=C_n^kp^kq^n-k =a^k\k! * e^-a при любом k=0,1,…. Числовые характеристики: М[Х] = α, D[X] = α. Закон Пуассона зависит от одного параметра α, смысл которого заключается в следующем: он является одновременно и математическим ожиданием и дисперсией случайной величины Х.

Вопрос 26 Предельные теоремы Муавра-Лапласа и случайная величина Гаусса.

Пусть событие может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью P и пусть V_n(А)- число осуществлений события А в n испытаниях. Тогда V_n(А)-np\√np(1-p)=> N_0,1 при n→∞, т.е. для любых вещественных x<y имеет место сходимость P(x≤ V_n(А)-np\√np(1-p)≤y)→Ф_0,1(y)- Ф_0,1(x)=∫_x^y 1\√2п *e^-t2/²dt.

Доказательство. Величина V_n(A) есть сумма независимых, одинаково распределённых случайных величин, имеющих распределение Бернули с параметром, равным вероятности успеха р: V_n(A)=ξ₁+…+ ξ_n , где ξ_i=I_i(A)={1, если А произошло в i-м испытании; 0, если А не произошло в i-м испытании. Еξ₁=р, Dξ₁=p(1-p). Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины X выражается формулой φ(х)=1\√2п * е^{– х2\2}. Нормальный закон распределения широко применяется в задачах практики. Объяснить причины этого впервые удалось Ляпунову. Он показал, что если случайная величина может рассматриваться как сумма большого числа малых слагаемых, то при достаточно общих условиях закон распределения этой случайной величины близок к нормальному независимо от того, каковы законы распределения отдельных слагаемых. А так как практически случайные величины в большинстве случаев бывают результатом действия множества причин, то нормальный закон оказывается наиболее распространённым законом распределения. Укажем числовые характеристики нормально распределённой случайной величины (математическое ожидание и дисперсия): M(X)=a; D[X]= σ². Характеристическая функция нормального распределения случайной величины задаётся формулой g(s)=exp(ias-1\σ²s²).