Вопрос 35 Моменты случайной величины, ассиметрия, эксцесс.

Момент случайной величины - числовая характеристика распределения данной случайной величины. Если дана случайная величина X  то: 1. k-м начальным моментом случайной величины Х называется величина V_k=E=[X^k], если математическое ожидание E[*] в правой части этого равенства определено; 2. -м центра́льным моментом случайной величины X называется величина u_k=E[(X-EX)^k], 3. k-м абсолю́тным и k-м центральным абсолютным моментами случайной величины Х называется соответственно величины V_k=E[|X|^k] и u_k=E[|X-EX|^k], 4.k-м факториальным моментом случайной величины Х называется величина u_k=E[X(X-1)..(X-k+1)], если математическое ожидание в правой части этого равенства определено. Геометрический смысл некоторых моментов: 1. V₁ равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой. 2. u₂ равняется дисперсии распределения (u₂=σ²) и показывает разброс распределения вокруг среднего значения. 3. u₃, будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение называется коэффициентом асимметрии. 4. u₄ контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего.

Коэффициент асимметрии - величина, характеризующая асимметрию распределения данной случайной величины. Пусть задана случайная величина Х, такая что E|X|³<∞. Пусть u₃ обозначает третий центральный момент: u₃=E[(X-EX)³], а σ=√D[X] – стандартное отклонение Х. Тогда коэффициент асимметрии задаётся формулой:ᵞ₁=u₃\σ³. Коэффициент эксцесса - мера остроты пика распределения случайной величины. Пусть задана случайная величина Х, такая что Е|X|⁴<∞. Пусть u₄ обозначает четвёртый центральный момент: u₄=Е[(X-EX)⁴], а σ=√D[X] – стандартное отклонение Х. Тогда коэффициент эксцесса задаётся формулой: ᵞ₂= u₄\σ⁴ -3.