Вопрос 6 Совместные и несовместные события.

События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти одновременно) события называются несовместными. Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В)=р(А)+р(В) Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице. р(А)+р(не А)=1 Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. р(А+В)=Р(а)+р(В)-р(А и В) Формула умножения вероятностей Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место. Для совместных, зависимых событий: P(AB) = P(A)×P(B/A) = P(B)×P(A/B). для несовместных, независимых: P(AB) = P(A)×P(B).

Вопрос 7 Правило исчисления теоретико-множественной суммы событий.

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В)=р(А)+р(В) Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице. р(А)+р(не А)=1 Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. р(А+В)=Р(а)+р(В)-р(А и В).

Вопрос8 Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если AB=0, то P(A+B)=P(A)+P(B).

Доказательство: Пусть n-общее число всех возможных и равновозможных элементарных исходов испытания m₁ сумме вероятностей благоприпятствующих событию А, а m₂ событию B. Т.к. событие А и В несовместны, то появление события А исключает появление события В и обратно; следовательно число благоприятных исходов события А+В равно m₁+m₂, т.о.:P(A+B)= m₁+m₂\n= m₁\n + m₂\n=P(A)+P(B).

Пример: В урне 2 белых 3красных и 5 синих шаров. Какова вероятность, что шар, случайным образом извлечём из урны будет цветным(не белым)? Пусть А-событие при извлечении красного шара из урны, а событие В-извлечение синего шара. Тогда А+В-извлечение цветного шара из урны. Итак,

1) n=10 ; 2)случайным выбором } =>P(A)=m\n

3)выбираем не белый шар; 4) m₁=3 _, m₂=5; 5)P(A)=3\10 , P(B)=3\5 ; 6) P(A+B)=P(A)+P(B)=3\5+3\10=0,8

Вопрос 9 Условная вероятность.

Вероятность события А при условии, что произошло событие В называется условной вероятностью события А и обозначается: P(A\B)=P_B(A).

Пример: В урне 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность:1)извлечение из урны белого шара(событие А); 2)извлечение из урны белого шара после удаления из неё одного шара, который является белым(событие В) или чёрным (событие С). P(A)=7\10; P_B(A)=6\9; P_c(A)=7\9.

Вопрос 10 Независимые и зависимые события.

Два события А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого, т.е. P(A)=P_B(A)=P_B^--(A);и P(B)=P_A(B)=P_A^--(B). В противном случае событие называется зависимым.

Вопрос 11 Правило исчисления теоретико-множественной произведения событий.

Формула умножения вероятностей Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место. Для совместных, зависимых событий: P(AB) = P(A)×P(B/A) = P(B)×P(A/B). для несовместных, независимых: P(AB) = P(A)×P(B)

Вопрос 12 Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого в предположении, что первое событие произошло: P(A*B)=P(A)*P_A(B).

Вопрос 13 Формула полной вероятности.

P(A)=P(B₁)*P_B1(A)+P(B₂)*P_B2(A)+….+P(B_n)*P_Bn(A).

Вопрос 14 Формула Байеса.

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло. В некоторых случаях ее можно рассчитать, используя формулу Байеса. Предположим, что событие A может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Событие A уже произошло. Требуется вычислить условные вероятности гипотез (при условии, что событие А произошло). Формула Байеса P(A|B)=P(B|A)*P(A)\P(B), где P(A).