Вопрос 15 Случайная величина как функция от элементарных исходов опыта.

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение. Возможные значения случайной величины образуют множество, которое называется множеством возможных значений случайной величины. Обозначения случайной величины: X, Y, Z; возможные значения случайной величины: x, y, z.

В зависимости от вида множества случайные величины могут быть дискретными и недискретными. СВ Х называется дискретной, если множество ее возможных значений - счетное или конечное. Если множество возможных значений СВ несчетно, то такая СВ является недискретной.

В теоретико-множественной трактовке основных понятий теории вероятностей случайная величина Х есть функция элементарного события: X=φ(ω), где ω - элементарное событие, принадлежащее пространству Ω. При этом множество Ξ возможных значений СВ Х состоит из всех значений, которые принимает функция φ(ω).

Вопрос 16 Функция распределения случайной величины.

Функцией распределения случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции x: F(x)=P{X<x}.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами: 1) F(x) определена на всей числовой прямой R; 2) F(x) не убывает, т.е. если x₁ ≤ x₂, то F(x₁) ≤ F(x₂); 3) F(-∞)=0, F(+∞)=1, т.е. lim_x→-∞F(x)=0 и lim_x→+∞F(x)=1; 4) F(x) непрерывна справа, т.е. lim_x→x0+0 F(x)=F(x₀).

Вопрос 17 Дискретные случайные величины. = Вопрос 18 Непрерывные случайные величины.

Дискретные СВ принимают в результате испытания одно из изолированного дискретного множества значений. Они хорошо подходят для описания результатов значений, связанных с подсчётом и выражаемых целыми числами. (счётное и конечное значение). Вероятность принятия дискретной СВ каждого из возможных её значений больше нуля. P(x;x_i);P_i , где i=..-1,0,1..(-∞;+∞). Непрерывные СВ в результате испытания могут принимать любые значения из некоторого интервала. Поскольку число возможных значений непрерывной СВ бесконечно велико и чаще всего нет оснований предположить, что одни значения появляются чаще других, то вероятность принятия непрерывной СВ каждого отдельного значения равна нулю. По этой причине нельзя описать распределение непрерывной СВ в виде вероятностей её отдельных значений.

Вопрос 19 Функция плотностей распределения вероятностей.

Плотность вероятностей – это производная от функции распределения непрерывной СВ т.е. f(x)=df(x)\dx. Вероятность попадания непрерывной СВ в интервале между значениями х₁ и х₂ пропорциональная площади под кривой плотности вероятностей, заключенной между точками х₁ и х₂. Эта вероятность математически записывается в виде интервала от f(x) в пределах х₁ и х₂.p(х_1≤X≤ х₂)=∫^х2 _х1 f(x)dx. Свойства f(x): 1) f(x)≥0; 2) f(x)=0, при х<x_min ; 3) f(x)=0, при х>x_max. ; 4) ∫^+∞_-∞ f(x)dx=1.

Вопрос 20 - Последовательности испытаний.

Если события независимы, то последовательность независимых испытаний называют схемой независимых испытаний или полиномиальной схемой, частным случаем которой (испытания с двумя исходами) является схема Бернулли. 

Последовательностью независимых испытаний называется конечная вероятностная схема, в которой вероятности элементарных событий определяется формулой: P(ω)=P_х1P_х2..P_хn, как произведение вероятностей исходов отдельных испытаний.

Пусть проводится конечное число n последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие A может либо наступить (успех) либо не наступить (неудача), причём эти испытания удовлетворяют следующим условиям:

1) каждое испытание случайно относительно события A, т. е. до проведения испытания нельзя сказать, появится A или нет;

2)  испытания проводятся в одинаковых, с вероятностной точки зрения, условиях, т. е. вероятность успеха в каждом отдельно взятом испытании равна P и не меняется от испытания к испытанию;

3) испытания независимы, т. е. события A₁,A₂,K,A_n , где A_i состоит в успехе на i-м испытании (i=1,2,..,n), независимы в совокупности. Такая последовательность испытаний называются схемой Бернулли или биномиальной схемой, а сами испытания - испытаниями Бернулли.

4) вероятность наступления определенного события А одна и та же и равна Р.

последовательность испытания Бернулли. P(A)=P ; P(A^-)=q=1-p.