27. Дифференциальные зависимости при изгибе.

Изгибающий момент, поперечная сила и интенсивность распределенной нагрузки связаны следующими зависимостями (зависимостями Д.Н.Журавского):

. Выводы:

1 Если на некотором участке балки отсутствуюет распределенная нагрузка (q=0), то  эпюра Q – прямая, параллельная к оси абсцисс (Q=const), а эпюра М на этом участке наклонная прямая.

 2 Если на некотором участке есть равномерно распределенная нагрузка, то эпюра Q – наклонная прямая, параллельная оси абсцисс (Q=const), а эпюра М – парабола

3Еслинанекоторомучасткебалки: Q >0,тоизгибающиймоментвозрастает, Q <0,тоизгибающиймоментубывает, Q = 0, то изгибающий момент постоянный

4 Если поперечная сила, изменяясь по линейному закону, проходит через нулевое значение, то в соответствующем сечении изгибающий момент будет иметь экстремум.

5 Под сосредоточенной силой на эпюре Q образуется прыжок на величину приложенной силы, а на эпюру М – резкое изменение угла наклона соседних участков.

6 В сечении, где приложена пара сил, эпюра М будет иметь прыжок на величину момента пары. На эпюре Q это не отразиться.

7 Если равномерно распределенная нагрузка  направлена вниз (вторая производная, которая характеризует кривизну линии),  эпюра М обращена выпуклостью вверх, навстречу нагрузке.

28. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Построить эпюры Q_y и M_x(рис.6).

Рис. 6

Порядок расчета.

1. Намечаем характерные сечения.

2. Определяем поперечную силу Q_y в каждом характерном сечении.

Q_y,1 = 0,

Q_y,2 = Q_y,3 = q·2 = 20 кН,

Q_y,4 = Q_y,5 = Q_y,6 = Q_y,7 = q·2 – F = 20 – 30 = - 10 кН.

По вычисленным значениям строим эпюру Q_y.

3. Определяем изгибающий момент M_x в каждом характерном сечении.

M_x,1 = 0,

M_x,2 = - q·2·1 = - 20 кН·м,

M_x,3 = M_x,4 = - q·2·2 = - 40 кН·м,

M_x,5 = - q·2·3 + F·1 = - 30 кН·м,

M_x,6 = M_x,5 + M = 20 кН·м,

M_x,7 = - q·2·5 + F·3 + M = 40 кН·м.

По вычисленным значениям строим эпюру M_x, причем, на участке под распределенной нагрузкой эпюра будет криволинейной (квадратная парабола). Выпуклость кривой на этом участке всегда обращена навстречу распределенной нагрузке.

29. Нормальные напряжения при чистом изгибе.

Определим нормальные напряжения, возникающие при чистом изгибе балки находящейся под действием моментов М_х.

В произвольной точке балки (рис.6.6, т.А) в общем случае могут возникать нормальные напряжения как вдоль продольной оси σ_z, так и вдоль поперечных осей σ_x, σ_y. Однако экспериментально установлено, что нормальные напряжения σ_x, σ_y пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями σ_z. Принимается так называемаягипотеза ненадавливания продольных волокон σ_x = 0, σ_y = 0. Поэтому можно принять, что материал балки находится при линейном напряженном состоянии вдоль оси z, и деформации подчиняются закону Гука. То есть нормальные напряжения при изгибе можно определить из формулы .

Установим закон изменения деформаций при изгибе балки. Экспериментально получено, что в деформируемой балке поперечные сечения плоские до деформации остаются плоскими и поперечными после деформации, имеет место гипотеза плоских сечений. При этом верхние волокна удлиняются, нижние укорачиваются, а продольная линия не меняет своей длины. Слой балки, не испытывающий при изгибе ни растяжения ни сжатия, называется нейтральным слоем. Линия пересечения нейтрального слоя и плоскости поперечного сечения называется нейтральной линией.

Определим относительную деформацию волокна ав ε_z (далее будем обозначать ее просто ε).

,

где  - радиус кривизны нейтрального слоя,

      у - расстояние от нейтрального слоя до рассматриваемого волокна балки.

Подставляя это соотношение в закон Гука, получим:

e

                                             (6.1)

т.е. напряжения  линейно зависят от координаты у.

Используя интегральную связь между напряжениями и изгибающим моментом

,

подставляя в него соотношение (6.1), получим  , где   - осевой момент инерции сечения.

Тогда получим выражение  , подставляя которое в (6.1) окончательно имеем формулу для нормальных напряжений при изгибе

.

Эпюра нормальных напряжений показана на рис.6.6. Как видно, на нейтральной линии они равны нулю, максимального значения напряжения достигают в крайних верхних и нижних волокнах балки.

.

     Обозначая  , получим формулу для максимальных напряжений в произвольном сечении

,

где W_x – осевой момент сопротивления сечения изгибу, геометрическая характеристика поперечного сечения.