Закон збереження імпульсу

Якщо геометрична сума зовнішніх сил дорівнює нулю, то система замкнена, і рівняння (2.20) набуває вигляду , тобто вектор сталий. Звідси випливає закон збереження імпульсу системи: повний імпульс замкненої системи матеріальних точок зберігається, тобто не змінюється з часом: (2.23)

Припустимо, що система незамкнена і геометрична сума зовнішніх сил . Якщо проекція головного вектора зовнішніх сил на деякий напрям дорівнює нулю, то складова повного імпульсу системи у цьому напрямі залишається сталою. Дійсно, нехай проекція сили на певний напрям ОХ дорівнює нулю: . Спроектуємо векторне рівняння (2.20) на цей напрям: , звідси р_х=const.

У цьому разі повний імпульс системи не зберігається, але зберігається проекція імпульсу на напрям ОХ. Наприклад, на кинуте горизонтально тіло діє напрямлена вниз сила тяжіння. При цьому вертикальна складова імпульсу безперервно збільшується, але його горизонтальна складова залишається сталою (якщо нехтувати силою

опору повітря).

Доведення закону збереження імпульсу в замкненій системі (2.23) ґрунтується на припущенні, що на силу взаємодії між Двома матеріальними точками не впливають інші матеріальні точки (парність взаємодії), і на третьому законі Ньютона, з якого випливає умова (2.19). Закон збереження імпульсу в замкнених системах — це окремий випадок фундаментального закону, для формулювання якого вводиться поняття імпульсу поля, що виходить за рамки класичної механіки.

Закон збереження енергії в механіці.

Розглянемо систему, що складається із N матеріальних точок масами mi, які рухаються відповідно з швидкостями , де і=1,2,...,N. У загальному випадку на кожну матеріальну точку системи діють як внутрішні консервативні та неконсервативні сили, так і зовнішні консервативні та неконсервативні сили. Позначимо через рівнодійну всіх консервативних (внутрішніх і зовнішніх) сил, які діють на i-ту точку, а через рівнодійну всіх неконсервативних (внутрішніх і зовнішніх) сил. Запишемо рівняння другого закону Ньютона для і-ї матеріальної точки: (3.29)

Під дією сил кожна із матеріальних точок за проміжок часу dt здійснює переміщення і змінює свою швидкість. Рівняння (3.29) помножимо скалярно на відповідне переміщення :

Записавши це рівняння для кожної з матеріальних точок і почлен-но додавши ці рівняння, отримаємо

(3.30) Перетворимо ліву частину цієї рівності. Врахо-вуючи, що і скалярний добуток колінеарних векторів , знаходимо, що перша сума дорівнює зміні кінетичної енергії всієї системи за проміжок часу dt:

Друга сума, як взята з оберненим знаком сумарна робота всіх діючих в системі консервативних сил за цей час, дорівнює зміні потенціальної енергії взаємодії матеріальних точок між собою і з зовнішнім полем консервативних сил:

Тоді dW + dU=dE і рівняння (3.30) набуває вигляду (3.31)

Таким чином, зміна повної механічної енергії системи дорівнює сумарній роботі всіх діючих на матеріальні точки неконсервативних внутрішніх і зовнішніх сил.

Якщо система рухається в полі тільки консервативних сил, то і з виразу (3.31) випливає, що dE=0, або E=W + U=const (3.32)

Повна механічна енергія системи, на яку діють тільки консервативні (і гіроскопічні) сили, зберігається, тобто не змінюється з часом.

Це положення називається законом збереження, механічної енергії. У консервативній системі потенціальна і кінетична енергії можуть перетворюватись одна в одну, але в будь-який момент часу їхня сума залишається сталою.

Закон збереження моменту імпульсу

Закон збереження моменту імпульсу справджується в системах, які рухаються під дією центральних зовнішніх сил. Центральними називаються сили, лінії дії яких виходять з однієї точки О. Цю точку називають силовим центром. У будь-якій точці центрального силового поля момент сили відносно силового центра дорівнює нулю, оскільки сила напрямлена вздовж радіуса-вектора, проведеного в цю точку із центра поля. Тому головний вектор моментів зовнішніх центральних сил відносно центра поля також дорівнює нулю. Отже, повний момент імпульсу системи матеріальних точок, яка рухається в центральному силовому полі, відносно силового центра залишається сталим.

Розглянемо рух окремої матеріальної точки масою m у полі центральних сил. Нехай у момент часу t радіус-вектор матеріальної точки, проведений із силового центра, дорівнює , а її швидкість . За наступний проміжок часу dt радіус-вектор зміниться на і опише нескінченно малу площу dS трикутника (на рис. 2.7 заштрихований).

В изначимо цю площу як модуль осьового вектора , перпендикулярного до площини трикутника:

Похідну (2.54) називають секторіальною швидкістю, її числове значення дорівнює площі, описаній радіусом-вектором за одиницю часу. За означенням момент імпульсу матеріальної точки відносно центра поля , або з врахуванням (2.54) (2.55)

Оскільки момент центральної сили відносно силового центра дорівнює нулю, то момент імпульсу .При повільних (нерелятивістських) рухах маса матеріальної точки не змінюється з часом і вираз (2.55) перетворюється в закон площ: (2.56)

Із формули (2.54) випливає, що площина, в якій лежать вектори і , завжди перпендикулярна до вектора . Іншими словами, траєкторією матеріальної точки в полі центральних сил є плоска крива. Закон площ (2.56) стверджує, що радіус-вектор матеріальної точки за однакові проміжки часу описує рівні за розміром площі.

Закон збереження моменту імпульсу в замкнених механічних системах с окремим випадком фундаментального закону збереження моменту імпульсу. У фізиці поняття моменту імпульсу розширюється, ця характеристика властива не тільки частинкам речовини, а й силовим полям. Узагальнений закон збереження моменту імпульсу постулюється на всі фізичні процеси.