4.4. Тригонометричні та гіперболічні функції

Тригонометричні та гіперболічні функції комплексного ар­гументу визначаються за допомогою основної формули Ейлера

і узагальнюють відповідні дійсні функції:

;

;

; ;

.

Оскільки комплексна експонента є періодичною з уявним періодом , то тригонометричні функції і також періодичні на всій комплексній площині з дійсним періодом , а і – з дійсним періодом :

; ;

; .

Причому на відміну від дійсних функцій, на всій комплексній площині і є необме­женими:

, при .

Гіперболічні функції і на всій комплексній площині є періодичними з уявним періодом , а і – з уявним періодом :

; ;

; .

Комплексні тригонометричні функції і приймають нульові значення тільки в точках дійсної осі, в яких відповідно і . Аналогічно, комплексні гіперболічні функції і приймають нульові значення тільки в точках уявної осі, в яких відповідні тригонометричні функції перетворюються в нуль: і .

Зауваження 1. Для тригонометричних і гіперболічних функцій комплексного аргументу залишаються справедливими основні тотожності (синус и косинус суми, різниці та ін.), а також формули диференціювання.

Допоміжні формули Ейлера

; ; ;

дають зв’язок гіперболічних функцій з тригонометричними.

Зауваження 2. Геометрично зв’язок гіперболічних функцій з тригонометричними зводиться до поворотів на образів і прообразів.

Зауваження 3. При комплексних аргументах зникають прин­ци­пові відмінності між показниковою, тригонометричними і гіперболічними функціями: експонента стає періодичною, і – необмеженими і т.п. Формули Ейлера відображають тісний внутрішній зв’язок цих функцій: їх можна розгля­дати як різні прояви одних і тих же закономірностей.

Приклад 1. Знайти .

Розв’язання. 

.

4.5. Логарифмічна функція

Логарифмічна функція комплексної змінної визначається як обернена до показникової:

Комплексне число називається натуральним логарифмом ненульового комплексного числа , якщо виконується рівність .

Нехай ; . Тоді за означенням

; ;

; , .

Звідси – звичайний натуральний логарифм додатного числа ; – вся мно­жи­на значень аргументу ненульового комплексного числа .

Отже,

.

Останній вираз показує, що функція є нескінченнозначною і визначена на всій комплексній площині, за винятком початку координат .

Нехай в деякій області вибором одного зі значень багатозначної функції одержана деяка однозначна функція . Якщо ця функція неперервна в області , то вона називається однозначною гілкою багатозначної функції .

Зауваження 1. Багатозначну функцію можна роз­глядати як однозначну, але не на комплексній площині, а на деякому більш складному геометричному об’єкті – Римановій поверхні, що утворюється шляхом “склеювання” певним чином між собою відповідної (скінченної чи нескінченної) кількості ек­земплярів комплексної площини. Наприклад, кореневу функцію можна розглядати як однозначну, множиною визначення якої служить трилиста поверхня (“склеєна” з трьох екземплярів площини), а множиною значень є дволиста поверхня (“склеєна” з двох екземплярів площини).

Однозначну гілку логарифмічної функції можна отримати в будь-якій частині комплексної площини, що не містить початку координат, шляхом виділення відповідного проміжку змінювання його уявної частини.

Якщо для аргументу обмежитися його головним зна­чен­ням , то одержимо однозначну гілку

,

що називається головним значенням логарифму.

Зауваження 2. Якщо число – дійсне додатне, тоді головне значення аргументу і головне значення логарифму співпадає зі звичайним натуральним логарифмом .

Зауваження 3. На логарифм комплексної змінної поширю­ють­ся основні властивості звичайного логарифму дійсного аргументу:

; ;

.

Область , що відповідає однозначній гілці логарифму, не може включати точку як внутрішню. Точку не можна обійти, залишаючись у цій області, оскільки при кожному обході в заданому напрямі аргумент одержує приріст чи і відбувається перехід до нового значення логарифму . Тому є так званою точкою розгалуження багатозначного логарифму .

Зауваження 4. Точкою розгалуження логарифмічної функції є також .

Зауваження 5. За допомогою логарифмічної функції визначаються:

а) загальна степенева функція , де показник – довільне комплексне число. Ця функція багатозначна, її головне значення .

б) загальна показникова функція , де основа – довільне ненульове комплексне число. Ця функція багатозначна, її головне значення .

в) показниково-степенева функція , де основа відмінна від нуля . Ця функція нескінченнозначна, її головне значення .

Зауваження 6. Багатозначні обернені тригонометричні і обер­нені гіперболічні функції визначаються як розв’язки відповідних рівнянь для прямих функцій. Переходячи в цих рівняннях за формулами Ейлера до експоненти, вказані аркфункції та­кож можна виразити через логарифмічну функцію. Наприклад:

; ;

; .

Приклад 1. Знайти .

Розв’язання. 

; .

Приклад 2. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. 

; .