6.3. Ряд Лорана

Розглянемо узагальнений степеневий ряд

,

де – коефіцієнти ряду;, – центр ряду.

Цей ряд містить як невід’ємні, так і від’ємні степені різниці . Ряд називається головною частиною, а ряд – правильною частиною. Узагальнений степеневий ряд збігається, якщо одночасно збігаються його головна і правильна чистини. Правильна частина як звичайний степеневий ряд збігається всередині деякого круга з центром і радіусом . Якщо у головній частині зробити заміну , то отриманий звичайний степеневий ряд збігається всередині деякого круга з центром і радіусом . Нехай . Повертаючись до змінної , можна встановити, що головна частина збігається зовні круга з центром і радіусом .

Якщо області і мають непорожній переріз, то узагальнений степеневий ряд збігається у їх спільній частині – кільці (рис. 29). На межі кільця ряд може як збігатися, так і розбігатися.

П риклад 1. Знайти область збіж­ності узагальненого степеневого ряду

Розв’язання. Знайдемо область збіжності головної частини . Застосовуючи радикальну ознаку Коші до ряду з модулів, визначаємо радіус збіжності

.

Тобто, головна частина абсолютно збігається при . На колі цей ряд розбігається, оскільки для відповідного ряду не виконується необхідна ознака збіжності.

Знайдемо область збіжності правильної частини . Застосовуючи ознаку Даламбера до ряду з модулів, визначаємо радіус збіжності

.

Тобто, правильна частина абсолютно збігається при . На колі цей ряд теж абсолютно збігається, оскільки відповідний ряд з модулів є збіжним узагальненим гармонічним рядом. Тоді областю збіжності правильної частини служить замкнений круг .

Отже, областю збіжності початкового сумарного ряду служить спільна частина знайдених областей – кільце з центром .

Нехай функція аналітична в деякій області за винятком окремих особливих точок. Візьмемо довільну точку цієї області. Якщо точка – правильна, то функ­цію можна розвинути в ряд Тейлора, радіус збіжності якого дорівнює відстані від центра до найближчої особливої точки. Якщо точка – особлива, то функцію не можна розкласти в ряд Тейлора за степенями .

Проведемо концентричні кола з центром через кожну особливу точку області . Тоді всередині кожного кільця між сусідніми колами особливих точок не буде. Наступна теорема дає розв’язок задачі: розкласти функцію , що аналітична в кільці , в узагальнений степеневий ряд.

Теорема 1 (теорема Лорана). Нехай функція – аналітична в круговому кільці з центром у точці . Тоді вона може бути однозначно подана у цьому кільці збіжним узагальненим степеневим рядом Лорана

;

,

де – довільний замкнений контур, що охоплює внутрішнє коло і повністью лежить у кільці.

Зауваження 1. Збіжний в деякому кільці до функції ряд Лорана можна почленно диференціювати та інтегрувати. Отримані при цьому ряди збіжні у тому ж кільці.

Зауваження 2. Ряд Тейлора є окремим випадком ряду Лорана, коли в останньому відсутня головна частина ( , ).

Зауваження 3. Нехай функція аналітична в круговому кільці – в проколотому околі нескінченно віддаленої точки . Якщо перейти до нової змінної , то одержана функція аналітична в кільці – в проколотому околі точки . Розкладаючи функцію в ряд Лорана в околі точки і повертаючись до змінної , можна отримати ряд Лорана за степенями функції в околі нескінченно віддаленої точки :

; ,

де – головна частина; – правильна частина (зміст і назви частин ряду протилежні тим, що мають місце для ряду Лорана з центром у скінченній точці).

Зауваження 4. Нехай функція – аналітична в круговому кільці . Тоді коефіцієнти ряду Лорана задовольняють нерівності Коші

,

де , , , .

Приклад 2. Розкласти в ряд за степенями функцію

а) у крузі (в околі точки );

б) у кільці ;

в) у кільці (в околі нескінченно віддаленої точки ).

Розв’язання. Особливими точками даної функції є точки і (у цих точках знаменник дорівнює нулю). Тому існують три області з центром у правильній точці (рис. 30), де функція є аналітичною і може бути розвинена в ряд за степенями :

а) у крузі – в ряд Тейлора; б) у кільці – в ряд Лорана; в) у кільці – в ряд Лорана.

Оскільки дана функція є правильним раціональним дробом, то 1) розкладемо її на суму елементарних дробів; 2) у відповідній області кожен з доданків перетворимо до вигляду суми нескін­ченно спадної геометричної прогресії і перейдемо до відпо­відної прогресії; 3) підставляючи отримані розклади у вираз для функції , знайдемо шукане розвинення цієї функ­ції в ряд Лорана у відповідній області.

.

а) У крузі :

;

;

;

.

б) У кільці :

(для першого доданку використовуємо знайдене в пункті а) розвинення);

;

;

.

в) У кільці :

.

Для другого і третього доданків використовуємо знайдені в пункті б) розвинення:

;

.

Тоді

.

Приклад 3. Розкласти в ряд Лорана функцію

в (проколотому) околі точки .

Р озв’язання. Особливими точками даної функції є точки і (див. попередній прикл. 2). Тому існують дві області з центром в особливій точці (рис. 31), де функція є аналітичною і може бути розвинена в ряд за степенями різниці :

а) у кільці (у проколотому околі точки ) – в ряд Лорана;

б) у кільці – в ряд Лорана.

У поставленій задачі розглядається (проколотий) окіл точки . Радіус визначається як від­стань від центра до найближчої особливої точки (в даному випадку обидві особливі точки розміщені на однаковій відстані від точки ).

Розкладемо функцію на суму елементарних дробів (див. попередній прикл. 2):

.

Перший доданок виражений через степінь різниці , тобто має потрібний вигляд. Другий і третій доданки перетворимо до вигляду суми нескін­ченно спадної геометричної прогресії відносно різниці і перейдемо до відпо­відної прогресії. Підставляючи отримані розклади у вираз для функції , знайдемо розвинення цієї функції в ряд Лорана в (проколотому) околі точки :

;

;

.