4. Элементы комбинаторики.

Пусть имеем множество n однородных элементов. Комбинаторика изучает возможности составления и подсчета количества комбинаций, которые можно составить из элементов исходной группы, и подчиняющихся определенным условиям. Комбинации элементов по-другому называются соединениями.

1) Пусть все элементы исходной группы участвуют в создании комбинаций, , где m – количество элементов в комбинации.

Пример Найти количество последовательностей номеров из цифр .

Получим следующие комбинации: . (6 шт.)

Комбинации отличаются одна от другой только порядком следования элементов. Такие комбинации называются ПЕРЕСТАНОВКИ, обозначаются Р_n и количество всех перестановок из n элементов равно ; .

В примере n = 3; .

2) Пусть не все элементы исходной группы участвуют в создании комбинаций, .

Пример 1 Составить все возможные отношения из трех чисел а, в, с по два числа (без повтора элементов).

Получим следующие комбинации: . Их 6 шт. и они отличаются одна от другой или элементами, или порядком их следования, или тем и другим. Такие комбинации называются РАЗМЕЩЕНИЯ, обозначаются и количество всех размещений из n элементов по m равно

В примере .

Пример 2 Составить все возможные произведения из трех чисел по два числа (без повтора элементов).

Получим комбинации . Их 3 шт. и они отличаются одна от другой только самими элементами, порядок не важен.

Такие комбинации называются СОЧЕТАНИЯ, обозначаются и количество всех сочетаний из n элементов по m равно .

Важное свойство сочетаний , отсюда

В примере .

3) Правило произведения

Пусть имеем множество элементов и множество .

Один элемент можно выбрать k способами элемент у_i  У можно выбрать т способами. Тогда пару элементов одновременно можно выбрать способами: каждый х_i сочетается с каждым y_j.

Пример Из города А в город В можно добраться самолетом и поездом, из В в С – автобусом, поездом и пароходом. Сколько различных возможностей (маршрутов) добраться из города А в город С?

.

Лекция №2. Аксиомы теории вероятности.

Теоретической основой теории вероятности являются пять её аксиом, дополненные теоремой о вероятности суммы совместных событий.

Аксиома 1. Вероятность невозможного события равна нулю (Р(А)=0).

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице (Р(В)=1).

Аксиома 3. Вероятность случайного события заключена в пределах от нуля до единицы ( <P(C)<1).

Аксиома 4. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (Р(А+В)=Р(А)+Р(В)). Аксиома распространяется на сумму любого конечного числа попарно несовместных событий.

Пример. В лотерее 1000 билетов: 1б. – 500 грн; 10 б. – 100 грн; 50 б. – 20 грн; 100 б. – 5 грн. Найти вероятность выиграть не менее 20 грн на приобретенный наудачу билет.

Пусть А: выиграть 500 грн. ;

В: выиграть 100 грн.; ;

С: выиграть 20 грн.; ;

D: выиграть не менее 20 грн; ; А, В, С – несовместные события.

Формулировка следующей аксиомы 5 требует введения в рассмотрение некоторых новых понятий.

Определение. Условной вероятностью события В по отношению к событию А называется его вероятность, вычисленная в предположении, что событие А произошло. Обозначается Р(В/A).

Определение. Событие А называют независящим от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет (Р(А)=Р(А/B)). В противном случае А и В зависимы (P(A) P(A/B)).

Пример. Из колоды в 36 карт наудачу извлекаем одну за другой две карты. Найти вероятность того, что первая карта туз и вторая карта туз.

Существует две схемы испытания.

Схема с возвращением:

А: первая карта туз, . Карту вернули после опыта в колоду.

В: вторая карта туз, . События В и А - независимы (Р(В)=Р(В/A)).

Схема без возвращения:

А: первая карта туз; . Извлечённый туз отложен в сторону.

В: вторая карта туз, если первая тоже туз Вероятность события В зависит от того, какая карта была извлечена первой: туз или не туз. События В и А - зависимы.

Аксиома 5.

Вероятность произведения событий А·В (или вероятность их одновременного осуществления) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события, вычисленную в предположении, что первое событие произошло.

Аксиома 5 может быть распространена на произведегние любого конечного числа событий.

Следствие 1. Пусть событие А не зависит от события В (Р(А)=Р(А/В)).

Тогда из аксиомы 5 будем иметь:

- событие В не зависит от А. Другими словами, зависимость и независимость двух событий – взаимная.

Следствие 2. Если событие А не зависит от события В, то из аксиомы 5 получим: . Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей эьтих событий.

Примеры. 1) В урне 10 шаров = 4 черных + 6 белых.

Наудачу по одному извлекаем два шара. Какова вероятность, что оба черные?

А: первый шар черный; .

В: второй шар черный, если первый черный P(B/A)= .

С: Оба шара черные;

Здесь события А и В зависимые.

2) В урне 10 шаров = 4 черных + 6 белых.

Три раза подряд извлекаем по одному шару, предварительно возвращая вынутый шар в урну. Какова вероятность, что все шары черные?

А: первый шар черный; В: второй шар черный; С: третий шар черный.

; ; . События А, В, С независимые.

D: все извлеченные шары черные; . .

Теорема. Вероятность появления суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: .

Доказательство (см. рис 4).

1) , причем события и несовместные

2) , причем события и несовместные

.

3) , причем события , и несовместные

.

из (1)

из (2)

Следовательно, .

Пример: Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого и второго орудий Р₁ = 0,7; Р₂ = 0,8. Найти вероятность попадания в цель при одном залпе хотя бы одним из орудий.

Событие А – попадание в цель первым орудием, В – попадание в цель вторым орудием независимые совместные события.

Замечание: Аксиома 5 умножения и теорема сложения могут быть доказаны только для классической вероятности (схема случаев). При строгих построениях курса, их принимают в качестве аксиом, полная система которых была сформулирована в 1936 г. академиком А.Н. Колмагоровым.

Следствия из аксиомы 5 и теоремы сложения.

1. Полная группа событий (ПГНС – такая группа А₁, А₂,...,А_n событий, что в результате испытания одно и только одно из этих событий обязательно произойдет, события А₁, А₂, ..., А_n попарно несовместны).Тогда событие А₁ + А₂+...+ А_n – достоверное событие и его вероятность Р(А₁ + А₂ + ... + А_n) = 1, или, учитывая несовместность событий, имеем Р(А₁ + А₂ + ... + А_n) = Р(А₁) + +Р(А₂) + ... + Р(А_n) = 1. Следовательно, сумма вероятностей событий, образующих ПГНС, равна единице, т.е. .

2. Противоположные события – два единственно возможных несовместных событий, образующих ПГНС. Тогда – событие достоверное; . Отсюда, или .

3. Вероятность осуществления хотя бы одного из независимых событий А₁, А₂, ..., А_n.

Пусть А: произойдет хотя бы одно из А₁, А₂, ..., А_n.

Тогда : не произойдет ни одно из этих событий, т.е. .

Если А₁, А₂, ..., А_n – независимые события, то и события – тоже независимые. Тогда по теореме умножения имеем:

Следовательно, .