5. Производная и дифференциал.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция

где обозначает производную в точке .

Таким образом есть функция двух аргументов .

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция линейно зависящая от и для которой верно следующее соотношение

6. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

1. Теорема. Ролля. Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах обращается в нуль g(a)=g(b)=0, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой производная gў обращается в нуль gў(c)=0.

2 Теорема. Лагранжа. Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой выполняется равенство g(b)-g(a)=gў(c)(b-a)

3. Теорема. Коши. Если функции g(x) и h(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причем hў(x) № 0 внутри отрезка [a,b], то существует точка a < c < b в которой выполняется равенство

g(b)-g(a) h(b)-h(a)

=

gў(c) hў(c)

4. Теорема. Лопиталя. Пусть функции g(x) и h(x) на некотором отрезке [a,b] удовлетворяют условиям теоремы Kоши и обращаются в 0 в точке x=a, т.е. g(a)=h(a)=0, тогда если существует предел отношения gў(x)/hў(x) при x® a, то существует и

lim x® a

g(x)/h(x)

причем

lim x® a

gў(x)/hў(x)=

lim x® a

g(x)/h(x).

7. Функции нескольких переменных и их непрерывность.

Определение 1. Функцией n переменных    u (x1, x2,  … , xn) называется отображение u:  Rn  →  R , т.е. любое правило, которое каждой точке x = (x1, x2,  … , xn) О D М Rn ставит в соответствие действительное число u О R .

D М Rn называется областью определения функции u и записывается D(u) .

Функцию n переменных записывают так: u = f(x1, x2,  … , xn) .

Пространство Rn считаем евклидовым с ортонормированным базисом.

Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x1, x2,  … , xn) определена в некоторой окрестности точки a = (a1, a2,  … , an) О Rn (включая саму точку a).

Определение 1. Функция u = f(x) называется непрерывной в точке a, если

lim x → a f(x) = f(a).

Обозначим приращения аргументов символами Δx1 = x1 − a1, Δx2 = x2 − a2,  …, Δxn = xn − an. Соответствующее приращение функции u=f(x)

Δu = f(a1 + Δx1, a2 + Δx2,   … ,  an + Δxn) − f(a1,  a2,  … ,  an).

называется полным приращением функции u=f(x) в точке a, соответствующим прирашению Δx = {Δx1, Δx2,  …, Δxn}.

Условие, определяющее непрерывную функцию u = f(x) в точке a эквивалентно условию

lim Δx → 0 Δu = 0.

Приращение

δxku = f(a1,  … , ak + Δxk,  … , an) − f(a1, a2,  … , an)

называется частным приращением функции u в точке a, соответствующим приращению Δxk аргумента xk.

Определение 2. Функция u = f(x) = f(x1, x2,  … , xn) называется непрерывной в точке a = (a1, a2,  … , an) по переменной xk , если

lim Δxk → 0 δxku = 0.

8. Производные функции нескольких переменных.

Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

– это частная производная функции z по аргументу x;

– это частная производная функции z по аргументу у.

Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.

9. Дифференциалы функций нескольких переменных.

Дифференциал функции нескольких переменных определяется как линейная (относительно приращений аргументов) часть приращения дифференцируемой функции

,

где dx_i    x_i (i=1, ..., m), если x₁, ..., x_m - независимые переменные.

Как и в случае одной переменной первый дифференциал обладает свойством инвариантности его формы, т.е. выражение для первого дифференциала имеет тот же вид и в случае, когда х₁, ..., х_m являются функциями некоторых переменных t₁, ..., t_k. Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие формулы

10. Поиск экстремума функции нескольких переменных.

Функция имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке некоторой окрестности точки , то есть (соответственно ) для всех точек , принадлежащих этой окрестности. Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть: , .

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки, в которых производные не существуют и которые лежат внутри области определения функции, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточное условие существования экстремума:

Пусть стационарная точка функции . Обозначим , , и составим дискриминант . Тогда:

если , то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум, при (или ) и минимум, при (или );

если , то в точке экстремума нет;

если , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).