3.5.5. Коефіцієнт ексцесу та варіації ексцесу

У ситуації, коли аналіз певних показників ефективності об’єкта (проекту) показує, що ці показники мають майже однакові сподівані значення, приблизно рівні їхні середньоквадратичні відхилення (і навіть семіквадратичні відхилення), а також є рівними значення коефіцієнтів асиметрії, то для порівняння ризиковості цих проектів можна скористатись коефіцієнтом ексцесу. Його обчислюють за формулою:

де Ех(Х) — коефіцієнт ексцесу. Статистичну оцінку коефіцієнта ексцесу можна здійснити за формулою:

де Т — кількість періодів.

Чим більше значення коефіцієнта ексцесу, тим більш «гостровершинним» (функція f₂(x) на рис.3.3) є графік функції щільності ймовірності для випадкової величини, що характеризує об’єкт (проект). Ця властивість коефіцієнта ексцесу вказує на більш високу «концентрацію» значень показника ефективності в околі його сподіваного значення.

Зменшення значення Ех(Х) приводить до того, що графік функції щільності ймовірності випадкової величини Х стає менш «гостровершинним» (функція f₁(x) на рис. 3.3), тобто більш «згладженим». Ця ситуація вказує на те, що розміри інтервалу, на який «найчастіше» потрапляють значення показника ефективності, збільшилися.

Рис. 3.3. Форма функції щільності залежно від коефіцієнта ексцесу (Ex₁(X) < Ex₂(X))

Очевидно, що серед m різних альтернативних об’єктів (проектів, стратегій) найменш ризиковий той, для якого «концентрація» значень показника ефективності в околі його сподіваного значення є вищою, тобто той (Х_k0), для якого виконується:

,

тобто Ех(Х) = Ех⁺(Х).

Приклад 3.15. Норми прибутків портфеля цінних паперів А і В, що спостерігались за останні 10 періодів, подано в табл.3.7.

Таблиця 3.7

Період		Норма прибутку (%)			Період		Норма прибутку (%)
t	RA		RB	t		RA		RB
1	6,9		3,71	6		2,81		5,06
2	4,7		4,90	7		2,70		5,92
3	5,85		1,73	8		2,35		7,67
4	6,88		2,67	9		2,73		4,94
5	4,5		3,88	10		3,87		2,81



Який з цих портфелів є менш ризикованим щодо інвестицій?

Розв’язання. Для портфеля А:

M⁺(R_А) = 4,329; ^–(R_A) = 1,7447; SSV ^–(R_A) = 1,1386; As⁺(R_A) = 0,3337; Ex⁺(R_A) = – 1,6225.

Для портфеля В:

M⁺(R_B) = 4,327; ^–(R_B) = 1,7425; SSV ^–(R_B) = 1,1744; As⁺(R_B) = 0,3353; Ex⁺(R_B) = – 0,9367.

Оскільки для портфелів цінних паперів, що досліджуються, практично рівними є величини сподіваних норм прибутку, середньоквадратичні та семіквадратичні відхилення, коефіцієнти асиметрії, то лише виходячи з того, що Ex⁺(R_B) = – 0,9367 > – 1,6225 = Ex⁺(R_A) і що As⁺(R_B)  As⁺(R_А) > 0, можна надати перевагу портфелю цінних паперів В як такому, що має менший ризик несприятливих відхилень норми його прибутку від її сподіваного значення. _-

За міру ризику можна використовувати також величину:

або ж коефіцієнт варіації ексцесу

Очевидно, що величини Ex(X) та CVEx(X) мають негативні інгредієнти. А тому серед m альтернативних об’єктів Х_k, k = 1, ..., m, перевага надається тому (Х_k0), для якого виконується умова:

,

або ж у випадку, коли здійснюється відносне оцінювання ризику, умова:

Приклад 3.16. Норми прибутків портфелів цінних паперів виду А і В, що спостерігались за останні 10 періодів, подано в табл.3.8.

Таблиця 3.8

Період		Норма прибутку (%)			Період		Норма прибутку (%)
t	RA		RB	t		RA		RB
1	11,73		3,71	6		4,85		5,06
2	7,99		4,90	7		4,59		5,92
3	9,95		1,73	8		4,0		7,67
4	11,7		2,67	9		4,64		4,94
5	7,65		3,88	10		6,58		2,81



Який з цих портфелів є менш ризикованим?

Розв’язання. Для портфеля А:

M⁺(R_А) = 7,368; ^–(R_A) = 2,9660; SSV ^–(R_A) = 1,9356; As⁺(R_A) = 0,3337; Ex⁺(R_A) = – 1,6225.

Для портфеля В:

M⁺(R_B) = 4,327; ^–(R_B) = 1,7425; SSV ^–(R_B) = 1,1744; As⁺(R_B) = 0,3353; Ex⁺(R_B) = – 0,9367.

Оскільки M⁺(R_A)  M⁺(R_B), то для порівняння портфелів цінних паперів необхідно використати оцінки ризику у відносному вираженні. Маємо:

тобто

.

Обчислимо коефіцієнти семіваріації:

тобто знову

.

Обчислимо і порівняємо коефіцієнти варіації ексцесу:

Оскільки = 0,3559 < 0,4476= , то перевагу слід надати портфелю цінних паперів А.

Аналогічний результат буде і в разі використання коефіцієнта варіації асиметрії._-