3.4.5.2. Дисперсія та середньоквадратичне відхилення

При абсолютному вираженні міри ризику під час прийняття економічних рішень широко використовується дисперсійний підхід.

Дисперсією (варіацією) V(X) випадкової величини Х є зважена щодо ймовірності величина квадратів відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання М(Х). Дисперсія характеризує міру розсіяння випадкової величини Х навколо М(Х) і обчислюється за формулою:

V(X) = M(X – M(X))² = M(X²) – (M(X))².

Для дискретної випадкової величини

Середньоквадратичним (стандартним) відхиленням випадкової величини Х називається величина

Підхід до оцінки ризику, що спирається на варіацію чи середньоквадратичне відхилення, вважається класичним. Причому чим більшими будуть ці величини, тим більшим буде ступінь ризику, пов’язаного з певною стратегією, тобто величина ризику

W = V(X) або W =  (X).

Слід зазначити, що такий підхід до оцінки ступеня ризику використовується, коли Х = Х ^.

Приклад 3.8. Розглядаються два проекти А і В щодо інвестування. Відомі оцінки прогнозованих значень доходу від кожного з цих проектів та відповідні значення ймовірностей. Цифрові дані наведено в табл. 3.2.

Таблиця 3.2

Оцінка можливого результату	Прогнозований прибуток (тис. гривень)		Значення ймовірності
	А	В		А	В
Песимістична Оптимістична	100 200	51 151		0,5 0,5	0,01 0,99

Потрібно оцінити міру ризику кожного з цих проектів і обрати один з них (той, що забезпечує меншу величину ризику) для інвестування.

_Розв’язання. Нехай Х_A = {100; 200}, X_B={51; 151} відповідно

випадкові величини, що відображають можливі прибутки від реалізації проектів.

Знайдемо величини сподіваних прибутків:

М(Х_А) = 0,5  100 + 0,5  200 = 150 (тис. грн);

М(Х_В) = 0,01  51 + 0,99  151 = 150 (тис. грн),

тобто обидва проекти мають однаковий прогнозований сподіваний прибуток.

У якості міри ризику використаємо оцінку мінливості (варіацію) можливих результатів інвестування:

Оскільки , то проект В є менш ризикованим порівняно з проектом А, і йому слід віддати перевагу.

Аналогічний результат ми отримаємо, якщо за міру ризику візьмемо середньоквадратичне відхилення:

тобто проект В є менш ризикованим._-

3.4.5.3. Семіваріація та семіквадратичне відхилення

Слід мати на увазі, що при класичному визначенні міри ризику однаково трактуються як додатні, так і від’ємні відхилення величини реального ефекту від сподіваної величини, тобто виконується гіпотеза про те, що коливання випадкової величини Х (прибутку, ЧПВ, збитків) в обидві сторони однаково небажані. Але у ряді випадків це не так і цю гіпотезу доводиться відкидати.

Якщо випадкова величина Х = {x₁; …; x_n} відображає прибутки (Х = Х⁺) і значення х_i < M(X) (оцінка прибутку х_і є реалізацією випадкової величини Х і є меншою від сподіваної величини прибутку), то це є ознакою несприятливої ситуації. В той же час додатне відхилення вказує на те, що реалізація випадкової величини (прибутку) є більшою, ніж сподівана величина, і це для менеджера (інвестора) є, очевидно, кращою, тобто сприятливою ситуацією.

У неокласичній теорії економічного ризику виходять з того, що ризик пов’язаний лише з несприятливими для менеджера (інвестора) ефектами і для його оцінювання достатньо брати до уваги лише несприятливі відхилення від сподіваної величини. При цьому в якості міри ризику використовується семіваріація, яка обчислюється за формулою:

де _j — індикатор несприятливих відхилень, який визначають за формулою:

Якщо ж, наприклад, Х = {x₁; …; x_n} відображає можливі варіанти збитків (Х = Х ^–, тобто має негативний інгредієнт), то

Для неперервної випадкової величини Х відповідно:

З практичної точки зору зручніше (беручи до уваги вимірність величин) застосовувати семіквадратичне відхилення.

Згідно із сказаним вище чим більшою буде величина SV(X) (чи SSV(X)), тим більшим буде ступінь ризику,

Приклад 3.9. Результати спостережень за нормами прибутку портфелів цінних паперів А і В протягом минулих п’яти періодів наведено в табл.3.3.

Таблиця 3.3

Період	Норма прибутку (%)
	RA	RB
1 2 3 4 5	5 3 2 3 7	3 5 6 5 1



Інвестор має можливість придбати лише один з цих портфелів. Потрібно оцінити міру ризику кожного з портфелів і придбати той, що забезпечує меншу величину ризику (для інвестування).

Розв’язання. У випадку, коли наявні статистичні дані щодо минулого, сподівану норму прибутку, її варіацію та семіваріацію можна обчислити, відповідно, за формулами:

де R = {R₁; R₂; …; R_T} — випадкова величина, що відображає значення норми прибутку в попередні Т періодів, R_t — норма прибутку портфеля цінних паперів в t-му періоді (t = 1,…, T), Т — кількість періодів, які минули і в які здійснювались спостереження за випадковою величиною R.

Нехай R_A — випадкова величина, що відображає можливі значення норми прибутку портфеля А, R_{B —} портфеля В. Тоді:

M(R_A) = 1/5  (5 + 3 + 2 + 3 + 7) = 4;

M(R_B) = 1/5  (3 + 5 + 6 + 5 + 1) = 4;

V(R_A) = 1/4  ((5 – 4)² +(3 – 4)²+(2 – 4)²+(3 – 4)²+(7 – 4)²) = 4;

V(R_B) = 1/4  ((3 – 4)²+(5 – 4)²+(6 – 4)²+(5 – 4)²+(1 – 4)²) = 4,

тобто на основі величин M(R_A), M(R_B), V(R_A) та V(R_B) ми не можемо надати перевагу ні портфелю А, ні портфелю В.

Обчислимо величини семіваріацій для цих портфелів. Оскільки для портфеля А величина ₁ = 0; ₂ = 1; ₃ = 1; ₄ = 1; ₅ = 0, то отримуємо:

W_A = SV(R_A) = 1/3(0² + (– 1)² + (– 2)² + (– 1)² + 0²) = 2.

Для портфеля В: ₁ = 1; ₂ = 0; ₃ = 0; ₄ = 0; ₅ = 1. Тоді

W_B = SV (R_B) = 1/2  ((– 1)² + 0² + 0² + 0² + (– 3)²) = 5.

Оскільки W_A<W_B, то, виходячи з позицій мінімального ризику, для інвестора більш привабливим є портфель А._-

_! Зауваження 3.2. У випадку, коли кількість спостережень Т є недостатньо великою (Т < 15), то для обчислення незміщених оцінок можуть використовуватись формули