3.5.3. Правила визначення знака інгредієнта

При побудові відносних оцінок ризику застосовуються такі правила (особливості) визначення інгредієнта оцінки.

Якщо розглядається оцінка виду [–]/[+]^*), то, враховуючи правила зміни інгредієнта, (1/[+] = [–]; 1/[–] = [+], тобто при діленні на певну характеристику її інгредієнт змінюється на протилежний), слід пам’ятати, що

[–] / [+] = [–]  1/ [+] = [–]  [–] = [–].

Розглянемо цю ситуацію на прикладі коефіцієнта варіації:

.

Отже, добуток двох характеристик з негативними інгредієнтами утворює нову характеристику, що також має негативний інгредієнт.

При побудові оцінки виду [+] / [–], маємо:

[+] / [-] = [+] · 1/ [-] = [+] · [+] = [+],

тобто добуток двох характеристик з позитивними інгредієнтами породжує нову характеристику, що також має позитивний інгредієнт.

Наприклад,

.

Більш складною є ситуація [+] / [+]. Дослідимо її. З одного боку:

,

з іншого:

Оскільки характеристики ([+] · [–]) та 1/([+] · [–]) мають протилежні інгредієнти, то отримане протиріччя вказує на невизначеність інгредієнта результуючої оцінки. А тому безпосереднє використання оцінок такого виду може призвести до неправильного результату при прийнятті рішень. Вихід з такої ситуації можна знайти лише при накладанні певних додаткових умов на характеристики, що є базовими при утворенні відносної оцінки.

При побудові оцінок виду [–] / [–] отримуємо:

тобто щодо інгредієнта відносних оцінок такого виду знову маємо невизначеність, а тому їх використання може призвести до суперечливого результату.

3.5.4. Коефіцієнти асиметрії та варіації асиметрії

У випадку асиметричного розподілу певних показників ефективності (ЧПВ) аналіз лише середньоквадратичного відхилення як міри ризику може бути недостатнім. Особливо коли ці значення співпадають для кількох альтернативних об’єктів (проектів). У цьому випадку слід аналізувати як показник ризику таку числову характеристику випадкової величини, як коефіцієнт асиметрії. Його обчислю­ють за формулою:

As(X) = ,

де As(X) — коефіцієнт асиметрії. У випадку, коли в наявності є статистична інформація щодо показника ефективності Х, зібрана протягом T періодів, коефіцієнт асиметрії обчислюють за формулою:

As(X) = .

Якщо As(X) = 0, то графік функції щільності ймовірності для випадкової величини Х є симетричним відносно М(Х). Якщо розподіл ймовірностей є асиметричним, причому його «довга частина» («хвіст») розміщена праворуч від моди випадкової величини Мо(Х) (має правосторонній скіс, рис. 3.2), то зважена сума кубів додатних відхилень від М(Х) є більшою від суми кубів від’ємних відхилень. Тоді, з урахуванням того, що (Х) > 0, отримуємо, що As(X) > 0. Аналогічно отримуємо, що As(X) < 0 у випадку, коли функція щільності має лівосторонній скіс (рис.3.3) і «хвіст» розподілу виступає ліворуч.

Якщо Х = Х⁺, то за решти рівних умов серед m різних альтернативних об’єктів (проектів, стратегій) меншим ризиком обтяжений той об’єкт ( ), для якого виконується умова:

тобто As(X⁺) = As⁺(X⁺). Це пояснюється тим, що несприятливі відхилення від сподіваного значення з відносно великою ймовірністю розташовані для обраного об’єкта ліворуч найближче до сподіваного значення (менше відхиляються від нього в несприятливий бік) порівняно з іншими, а сприятливі значення значно віддалені від сподіваної величини (ці значення — «хвіст» — розташовані праворуч).

Рис. 3.2. Функція щільності розподілу ймовірності у випадках додатного (а) та від’ємного (б) коефіцієнтів асиметрії

У зв’язку з цим можна вважати, що критерій максимальної асиметрії є критерієм, який забезпечує мінімальний ризик по відношенню до несприятливих відхилень від сподіваного результату (для задач максимізації показників ефективності).

Як міру ризику можна використовувати також величину :

Очевидно, що оцінка має негативний інгредієнт , а тому перевага надається тому об’єкту (проекту), для якого вона є мінімальною:

Для відносного вираження ризику з урахуванням As⁺(X⁺) можна використовувати коефіцієнт варіації асиметрії:

Очевидно, що CVAs(X⁺) = CVAs^–(X⁺), тобто перевага надається тому об’єкту (проекту), для якого CVAs^–(X⁺) приймає найменше значення:

Використання коефіцієнта асиметрії можливе і тоді, коли показники ефективності об’єкта (проекту) містять негативний інгредієнт, тобто (сподівані збитки, затрати). У цьому випадку більш ефективним рішенням будуть відповідати менші значення коефіцієнта асиметрії, а тому серед m альтернативних рішень оптимальним буде те, для якого

(у цій ситуації As(X^–) = As^–(X^–)).

Можна скористатись також критеріями:

_! Зауваження 3.3. Під час прийняття рішень критерії, які базуються на оцінках As(X) та As(X), слід використовувати тоді, коли M(X_i) = M(X_j); i, j = 1, ..., m або ж M(X_i)  M(X_j). Оцінки CVAs(X) використовуються тоді, коли M(X_i)  M(X_j), i, j = 1, ..., m.





Приклад 3.13. Виходячи з умови прикладу 3.9, треба оцінити коефіцієнти асиметрії для норм прибутку портфелів цінних паперів і прийняти оптимальне рішення щодо інвестування.

Розв’язання. Для портфеля цінних паперів виду А маємо:

Для портфеля В:

Отже, виходячи з того, що As⁺(R_A) > As⁺(R_B), або (R_A)< < (R_B), або CVAs^–(R_A) < CVAs^–(R_B)), приходимо до висновку, що менш ризикованим є портфель цінних паперів А і інвестиції слід робити в цей портфель.

Слід мати на увазі, що отриманий результат повністю узгоджується з рішенням, яке було отримане при розв’язанні прикладу 3.9._-

Приклад 3.14. Виходячи з умови прикладу 3.12 і використовуючи в якості міри ризику коефіцієнт варіації асиметрії, вибрати портфель цінних паперів, що обтяжений мінімальним ризиком.

Розв’язання. Для портфеля цінних паперів А маємо:

R_A = ; M⁺(R_A) = 4;  ^– (R_A) = 2; As⁺(R_A) = 1,8;

(R_A) = 0,357; CVAs^–(R_A) = 0,089.

Для портфеля В:

R_B = ; M⁺(R_B) = 4,8;  ^– (R_B) = 2,4; As⁺(R_B) = – 1,8;

(R_B) = 2,8; CVAs^–(R_B) = 0,583.

Оскільки M⁺(R_A) < M⁺(R_B), то в якості міри ризику доцільно використати коефіцієнт варіації асиметрії. Враховуючи, що

CVAs^–(R_A) = 0,089 < 0,583 = CVAs^–(R_B),

найменший ризик має портфель А.

Отриманий у цьому прикладі результат повністю узгоджується з висновком, зробленим у рішенні прикладу 3.12._-