2.4. Східчасті системи

Східчастою називається така система лінійних рівнянь, матриця якої є східчастою, тобто це система, яка має наступний вигляд:

(1)

де

або система вигляду

тобто система називається східчастою, якщо у розширеній її матриці матриця А східчаста.

Приклади східчастих систем:

1). – східчаста система, що складається з одного рівняння (тут ).

2). – східчаста система (тут ).

3). – східчаста система (тут ).

Системи виду мають множину розв¢язків, що складається з усіх векторів де - довільні числа, якщо системи виду є несумісними, якщо хоч одне з чисел відмінне від 0.

Тому розглянемо системи виду (1).

В такій системі невідомі називаються головними невідомими, а всі інші невідомі – вільними невідомими.

Розглянемо два випадки:

І. Нехай серед чисел хоч одне відмінне від 0. Тоді система (1) містить рівняння

де .

Зрозуміло, що жодна сукупність чисел не задовольняє рівняння. Отже, система (1) розв¢язків немає. Тобто (1) – несумісна система.

ІІ. Нехай Для зручності подальших міркувань зробимо перепозначення невідомих буквами , так щоб головні невідомі були позначені відповідно через , а всі інші (тобто вільні невідомі) через інші .

У відповідності до цього елементи матриці А системи (1) будуть перепозначені на елементи матриці С, тобто система (1) матиме наступний вигляд:

(2)

де

(Рівняння системи (1), починаючи з -го мали вигляд і тому ми їх опустили, оскільки при вилученні нуль-рівнянь (рівнянь виду ) система переходить у рівносильну їй систему.)

Надамо вільним невідомим довільним чином конкретні числові значення Тоді з останнього рівняння однозначно визначається , а саме:

(3)

Тоді з попереднього рівняння ( -го рівняння) можна однозначно визначити і т. д.

Якщо вже визначені то з і-го рівняння

визначається однозначно

Так, рухаючись вгору по системі, будуть однозначно визначені тобто будуть однозначно визначені усі головні невідомі через числа .

Отже, система (2), а тому і система (1) є сумісними, причому при система має єдиний розв¢язок, а при більше, ніж один розв¢язок. Зрозуміло, що усі розв¢язки системи (2) отримуються вказаним методом. Тобто ми можемо знайти всі розв¢язки системи.

Приклад. Нехай маємо систему

Ця система східчаста і має вигляд (1) ( головні невідомі; вільні невідомі). Нехай де довільні числа. Тоді з останнього рівняння системи маємо

а тоді можна визначити з першого рівняння

тобто

Таким чином, – множина усіх розв¢язків даної системи.