42. Властивості границь функцій.

1) Якщо х = С – постійна величина, то limCC, тобто, границя постійної величини дорівнює самій постійній.

2) Границя алгебраїчної суми скінченної кількості змінних величин, що мають границі, дорівнює такій самій алгебраїчній сумі границь доданків, тобто lim(x y...z)limxlimy...limz.

3) Границя добутку скінченної кількості змінних величин, що мають границю, дорівнює добутку границь множників.

4) Границя частки від ділення двох змінних величин дорівнює частці від ділення їх границь, якщо тільки границя

дільника не дорівнює нулю.

43. Розкриття невизначеного вигляду при застосуванні ірраціональних функцій та многочленів під час обчислення границь функцій

Невизначеність для ірраціональних функцій

Для розв’язування задач у цьому випадку рекомендується звільнитись від тих ірраціональних множників у чисельнику і знаменнику дробового виразу, які перетворюються на нуль при виконанні граничного переходу. Для звільнення від радикалів використовують формули скороченого множення, заміну змінної та інші штучні прийоми

Приклад.

3. Невизначеність

У цьому випадку і чисельник, і знаменник рекомендується поділити на найбільший степінь змінної, що входить як до знаменника, так і до чисельника.

Приклад.

4. Невизначеність

Цей тип невизначеності зводиться до невизначеностей або наприклад, зведенням виразу до спільного знаменника, множенням на спряжений вираз.

Приклад.

44. Перша і друга важливі границі та наслідки з них

Перша особлива границя

Границі — наслідки першої особливості границі:

1. 2. 3. 4.

Зауваження. За допомогою першої особливої границі можна досліджувати невизначеності для виразів з тригонометричними функціями.

Друга особлива границя

Границі — наслідки другої особливої границі:

1.  .   2.  .   3.  .

4.  .

Зауваження: За допомогою другої особливої границі та її на- слідків можна досліджувати невизначеності

45. Неперервність функції в точці: означення Коші та означення в термінах приростів функції та аргументу. Застосування поняття неперервності при обчисленні границь функцій

Функція називається неперервною в точці якщо

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо в цій точці нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо границя функції дорівнює функції від границі аргументу при , тобто

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо односторонні границі функції зліва й справа в цій точці існують, рівні між собою і дорівнюють значенню функції у цій точці, тобто:

46. Властивості функцій, неперервних на відрізку. Геометрична інтерпретація цих властивостей

1. Якщо функція y=f(x) неперервна на відрізку [a;b], то вона обмежена на цьому відрізку

2. Якщо функція y=f(x) неперервна на відрізку [a;b], то вона досягає на цьому відрізку свого найменшого m і найбільшого М значення.

3. Якщо функція y=f(x) неперервна на відрізку [a;b], і значення її на кінцях відрізках f(a) i f(b) мають протилежні знаки, то в середині відрізка існує хоча б одна така точка, , що f(e)=0, тобто крива y=f(x) перетинає вісь Ох хоча б в одній точці