19. Вивести рівняння прямої, що проходить через дві точки і рівняння прямої у відрізках на осях.

Відомі координати двох точок на прямій L: M1(x1;y1) та M2(x2;y2). Складаємо рівняння прямої L. Вектор M1M2 належить прямій L, отже це напрямний вектор прямої L. Якщо у канонічне рівняння прямої замість координат точки Мо(хо:уо) підставити координати точки M1(x1;y1), а замість координат напрямного вектора l(m;k) підставити координати іншого напрямного вектора прямої – вектора М1М2, то одержимо рівняння прямої за двома точками:

Відомо, що пряма L відсікає на осях координат відрізки а і b. Складемо рівняння цієї прямої. Точки перетину прямої L з осями координат: М1(а;0), М2(0;b). Використаємо рівняння прямої за двома точками і одержимо: , , , - рівняння прямої у відрізках на осях, де а – довжига відрізка а осі Ох, b – на осі Оу.

20. Вивести векторне рівняння прямої та загальне рівняння прямої і його частинні випадки

У прямокутній сис-мі координат пряма лінія задається р-ням першого степеня відносно х і у. Загальне р-ня прямої лінії

Ax+By+C=0. Дослідимо це р-ня.

1. С=0, А≠0, В≠0, Ах+Ву=0, визначається як пряма, що проходить через початок координат.

2. В=0, А≠0, С≠0, тоді Ах+С=0, або

, де а- довжина відрізка, що його пряма відтинає на осі Ох, а сама вона розміщена паралельно осі Оу.

3. А=0, В≠0, С≠0, тоді Ву+С=0, або

, де b- довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Ох.

21.Вивести нормальне рівняння прямої та рівняння пучка прямих.

Вектор, опущений з початку координат перпендикулярно на пряму називається вектором нормалі цієї прямої.

Рівняння L за точкою Р(pcosa;psina) і перпендикулярним вектором р(pcosa;psina)

xcosa+ysina-p=o де р –довжина перпендикуляра , а- кут між цим перпендикуляром і додатним напрямком осі ОХ.

22.Кут між двома прямими заданими канонічним рівнянням. Умови паралельності і перпендикулярності прямих.

Нехай прямі L1 та L2 задано канонічним рівняннями

, кут між цими прямими

cos

Якщо прямі L1та L2 паралельні, то вектори S1 та S2 колінеарні, тому їхні координати пропорційні, то

- умова паралельності двох прямих

Якщо прямі L1та L2 перпендикулярні, то вектори S1та S2 перпендикулярні і їхній скалярний добуток =0 , m1m2+n1n2= 0 – умова перпендикулярності двох прямих.

23. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Відстань від точки до прямої

Точка В(0;b) і кут однозначно визначають пряму L на площині. Дійсно, адже у=MC+CN=BctgB+b=xtgB+b/ Позначимо k=tgB і одержимо шукане рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Нехай задано деяку точку М₀ (х₀, у₀) і пряму l: Ах + Ву + С = 0. Пересвідчимось, що М₀ не лежить на прямій, Ах₀ + Ву₀ + С  0, тоді відстань від точки М₀ (х₀, у₀) до прямої Ах + Ву + С = 0 можна знайти за формулою:

.

24. Кут між прямими, що задані рівнянням з кутовим коефіцієнтом. Умови паралельності і перпендикулярності прямих

Розглянемо дві прямі l₁: у = k₁x + b₁ і l₂: y = k₂ x + b₂.

Означення. Кутом між прямим l₁ і l₂ називається такий кут , поворот на який від першої прямої до другої відносно точки їх перетину до суміщення цих прямих відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.

Рис. 2.15

Зауважимо, що кут між l₁ і l₂ не дорівнює куту між l₂ і l₁. Пригадуючи, що tg ₁ = k₁; tg ₂ = k₂, а також, що виконується очевидне співвідношення між кутами  = ₂ – ₁ (рис. 2.15), маємо: . Остаточно

. (2.18)

Якщо кут  — це кут між l₁ і l₂, то кут між l₂ і l₁ дорівнюватиме  – .

З формули (2.18) легко дістати умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.

Так, коли l₁ // l₂, кут  між ними дорівнює нулю — маємо:

tg  = 0  k₁ = k₂.

Якщо l₁  l₂,

.

Підставляючи значення кутових коефіцієнтів, маємо:

.