62. Застосування правила Лопіталя у невизначеностях виду

Невизначеність виду . Нехай .

Потрібно знайти

. (4.18)

Це невизначеність типу .

Якщо вираз (4.18) записати у вигляді

або ,

то при дістанемо невизначеність відповідно вигляду або .

Невизначеність . Якщо функції при (а — скінченне або нескінченне), то різниця при дає невизначеність . Остання з допомогою алгебраїч­них перетворень зводиться до невизначеності або .

Невизначеність вигляду . Нехай маємо функцію .

При (а — скінченне або нескінченне) можливі три випадки:

а) маємо невизначеність виду ;

б) дістанемо невизначеність ;

в) маємо невизначеність виду .

Ці невизначеності за допомогою логарифмування зводяться до невизначеності вигляду . Справді, позначимо дану функцію через у, тобто візьмемо . Прологарифмувавши цю рівність, дістанемо .

Легко перевірити, що при добуток буде невизначеністю для всіх трьох випадків

Відповідно до підпункту 1 розкриємо невизначеність , тобто знайдемо границю (k — скінченне або ).

Звідси .

63. Необхідна і достатня ознаки зростання (спадання) фу-ї.

Функція називається зростаючою (спадною) в точці , якщо існує окіл  точки , який міститься в проміжку  і є такий, що    для всіх  і ) для всіх .

Якщо  функція є зростаючою (спадною) в кожній внутрішній точці проміжку  то вона називається зростаючою (спадною) на цьому проміжку.

Достатні ознаки зростання (спадання) диференційованої функції.

Теорема. Якщо функція  у внутрішній точці  має похідну  і , то функція  в точці зростає (спадає).

64. Екстремум функції, необхідна та достатня умови існування екстремуму

Необхідна умова екстремуму функції.

Теорема. У точці екстремуму диференційовної функції похідна її дорівнює нулю:

Наслідок. Неперервна функція може мати екстремум тільки в тих точках, де похідна функції дорівнює нулю або не існує.

65. Опуклість та вгнутість графіка функції. Необхідна і достатня умови опуклості (вгнутості) графіка функції

Крива на проміжку називається опуклою (угнутою), якщо всі точки кривої лежать нижче (вище) будь-якої її дотичної на цьому проміжку.

Теорема 1. 1) Якщо в усіх точках проміжку (с, b) для функ­ції друга її похідна додатна , то графік функ­ції вгнутий.

2) Якщо в усіх точках проміжку (а, с) друга похідна від’єм­на , то графік функції випуклий.

Теорема 2. Якщо для функції друга похідна її у деякій точці х₀ перетворюється на нуль або не існує й при переході через цю точку змінює свій знак на обернений, то точка є точкою перегину графіка функції.

66. Точки перегину графіка функції. Необхідна і достатня умови існування точок перегину

Т., яка відокремлює опуклу частину кривої від вгнутої, наз. т. перегину.

Якщо т. х₀ є т. перегину графіка, f’’(x)=0 або не існує.

Теорема 1. Якщо для ф-ції f(x) друга пох. її f’’(x) у деякій т. x₀ перетвор. на 0 або не існує й при переході через цю т. змінює свій знак на обернений, то т. М(х₀, f(x₀)) є т. перегину.

67. Асимтоти графіка функції

Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань d від змінної точки М кривої до цієї прямої при віддаленні точки М у нескінченність прямує до нуля (4.18). Асимптоти бувають вертикаль­ні й похилі.

Вертикальні асимптоти. Якщо

, або ,

або , то пряма х = а є вер- тикальною асимптотою для графіка функції .

Похилі асимптоти. Нехай крива має похилу асимптоту , тоді

. (4.20)

Якщо хоча б одна з границь (4.20) не існує, то крива похилих асимптот у відповідній напівплощині не має.

69. Функції двох змінних. Область визначення

Згідно з означенням функцію можна розглядати як функцію точки і записувати .

Зокрема, при n = 2 говорять, що задана функція двох змінних , якщо кожній парі на площині поставлено у відповідність тільки одне число z. Cукупність усіх впорядкованих наборів чисел виду (х,у), при яких функція z=f(x,y) приймає певні дійсні значення, називають областю визначення функції. Знаходження області визначення функції двох змінних

Покажемо алгоритм знаходження області визначення функції двох змінних на прикладі.

Приклад. Знайти область визначення функції та надати їй геометричну інтерпретацію.

 1. Знайдемо область визначення функції аналітично

.

2. Нерівності в D замінюємо рівностями і будуємо лінії, що їм відповідають на координатній площині, а саме: ; .

Рис. 5.9

3. Визначаємо за допомогою контрольних точок , розміщення D на площині і заштриховуємо її (рис. 5.9).

71. Частинний приріст і частинні похідні І-го порядку

Різницю називають частинним приростом за х, а різницю — частинним приростом за y функції ; їх позначають відповідно і . Таким чином,

,

Якщо існує , то її називають частинною похідною функції z=f(x,y) по змінній х і позначають або

,

73. Використання повного диференціала до наближених обчислень

Використання диференціала для наближених обчислень знаходится за формулою:

Похідна за напрямом

Відомо, що механіч. зміст похідної ф-ції 1 незалеж змінної – змінювання ф-ції в даний момент х. Аналогічно можна тлумачити мех. зміст частин похідних І-го порядку ф-ції z=f(x;y)

z/x – швидкість зміни ф-ції в напрямі Ох.

z/y - швидкість зміни ф-ції в напрямі Оу.

Частин похідну ф-ції z не залеж змінної за напрямом ех, еу знаходять:

де  і  - кути, які утвор. Вектор е з осями координат.

74. Градієнт функції Z=f(x,y)

Вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання функції у точці , називається градієнтом функції у цій точці і позначається ( — одиничні орти):

Похідна за напрямом функції та градієнт пов’язані співвідношенням

75. Частинні похідні вищих порядків. Теорема про рівність мішаних похідних

Частинну похідну першого порядку по змінній від частинної похідної першого порядку по змінній називають частинною похідною другого порядку функції по змінній та і позначають : або

Теорема: якщо функція z=f(x;y) та похідні та неперервні в точці (х;у) та в деякому її околі, то в цій точці

76. Знаходження екстремуму функції кількох змінних

Алгоритм дослідження функції на екстремум

1. Знайти перші частинні похідні та .

2. Знайти стаціонарні точки, тобто точки, в яких , .

3. Знайти частинні похідні другого порядку , , .

4. Обчислити значення частинних похідних другого порядку в стаціонарних точках.

5. Для кожної стаціонарної точки знайти і зробити висновки на базі теореми:

Нехай функція має екстремум у точці неперервні частинні похідні першого й другого порядку, причому та , а також , , . Якщо:

1)  і , тоді точка максимуму функції ;

2)  і , тоді точка мінімуму функції ;

3)  , тоді в точці немає екстремуму.

4)  , тоді потрібні додаткові дослідження

77.Знаходження умовного екстремуму функції кількох змінних

Нехай на відкритій множині D  R² задано ф-ії u=f(x;y), v=(x;y) і Е – множина точок, що задовольняють рівняння:

Означення: Рівняння називають рівнянням зв’язку, точку (x₀;y₀)Е називають точкою умовного строгого максимуму ф-ії u=f(x;y) при обмеженнях рівняння.

Точки умовного максимуму та мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремум інколи називають відносним екстремумом.

Ф-ція L(x;y)=f(x;y)+(x;y) наз. ф-цією Лагранжа, параметр - множн. Лагнаржа.

Теорема.

Для того, щоб т. (х₀;у₀) була т. умовного екстр. ф-ції u=f(x;y) при р-ні звязку (х;у)=0, необ., щоб її координ. При деяких знач.  задов. сис-му р-нь:

Алгоритм знаходження умовного екстремуму методом Лагранжа

1. Записати функцію Лагранжа , де - деяке число, що називається множником Лагранжа

2. Знайти критичні точки функції Лагранжа за необхідними умовами існування екстремуму

3. Перевірити в кожній критичній точці Мk достатні умови існування екстремуму:

А) якщо , то -точка максимуму

Б) якщо <0 , то - точка мінімуму

4) Знайти значення функції у точках максимуму чи мінімуму