11. Методика вивчення показникових рівнянь і нерівностей.

Рівняння називаються показниковими, якщо невідомі в ньому містяться в показнику степеня. В школі звичайно розв'язують найпростіші показникові рівняння. Слід застерегти учнів від досить поширених помилок, коли вони з певних причин втрачають розв'язки, або вказують зайві. Для розв’язування показникових рівнянь загального методу немає, тому слід користуватися такими правилами: 1) якщо основа двох степенів і степені рівні, причому основа і , то показники степенів також рівні, тобто якщо , то . 2) Якщо у рівних степенів показники степенів рівні , то рівні і основи степенів, тобто , , то .

Найпростішим показниковим рівнянням є . При і , рівняння коренів не має; при рівняння має єдиний корінь.

Розглянемо ще рівняння виду . Тоді вводиться заміна і отримуємо елементарне рівняння ; і розв'язуємо звівши до .

Під час розв’язування нерівності виду використовують властивість монотонності показникової функції.

Функція у=а^х, якщо а>1 – зростає, а якщо 0<a<1 – спадає.

Для а>1 більшому значенню функції відповідає більший показник. Отже, для а>1 розв’язування даної нерівності зводиться до розв’язування нерівності f(x)>φ(x). Якщо 0<a<1, показникова функція спадає, тобто більшому значенню функції відповідає менший показник, і для 0<a<1 розв’язування нерівності зводиться до розв’язування нерівності f(x)<φ(x).

Приклади:

1) 3^2-х>27. перепишемо дану нерівність у вигляді 3^2-х>3³. оскільки тут а=3 і 3>1, то 2-х>3. Звідси

-х >1; х<-1.

2) Зведемо дану нерівність до спільної основи:

Оскільки а<1, то 3х>2x-4, x>-4.

12. Координати і вектори на площині і в просторі. Застосування до розв’язування задач.

Метод координат - це спосіб визначення положення точки, фігури або тіла за допомогою чи­сел. або інших символів. Числа, за допомогою яких визначається положення точки, називають її координатами.

Відповідно до чинної програми вперше поняття «координата точки на прямій», «прямокутна система координат на площині» Виїдяться в курсі математики 6 класу. У курсі алгебри 7-9 класів здобуті знання і вміння застосовуються при побудові графіків функцій, графічному розв'язуванні рівнянь, нерівності та їх сис­тем. У курсі геометрії 8 класу знову передбачені вивчення декартових координат і застосування методу координат до досліджен­ня властивостей геометричних фігур і означення тригонометрич­них функцій кута від 0° до 180°, вивчення функцій.

Вивчення у 8 класі теми «Координати на площині» треба починати з повторення і зведення в систему тих знань і умінь, які учні вже мають з попередніх класів.

Потім розглядають систему координат, початок координат, координатну площину, осі координат, координати точки – абсцису і ординату. Отже, коли вони починають розглядати координати в просторі, з більшістю понять вони вже знайомі, залишається лише повторити.

Під час опрацювання даної теми учні повинні вчитися і розуміти, як відшукати координати середини відрізка, відстань між двома точками, знайти рівняння кола, прямої.

Метод координат використовується для доведення багатьох теорем. Встановлюються умови розташування прямої відносно системи координат

Вектори на площині учні вивчають на початку 9 класу. Поняття вектора вводиться як напрямлений відрізок, або клас напрямлених відрізків. Вводиться поняття абсолютної величини і напрямку вектора, його координат, сума векторів, множення вектора на число, скалярний добуток векторів.

Найзручніше вектори позначати у координатній формі. Нехай вектору а на координатній площині відповідає напрямний відрізок АВ, такий, що А (х₁, у₁), В (х₂,у₂), х₂-х₁=а₁, у₂-у₁=а₂ називаються координатами вектора а (а₁, а₂).

В просторі, як і на площині вектор вводиться як напрямлений відрізок. Означуються основні поняття. За допомогою векторів записують рівняння площини ах+by+cz=0.

Слід ввести такі властивості векторів:

1. а (а₁, а₂)+b (b₁, b₂) = c (a₁+b₁, a₂+b₂).

2. λа (а₁, а₂) = c (λа₁, λа₂).

3. а (а₁, а₂)* b (b₁, b₂)=a₁b₁+a₂b₂.

З цих операцій слідує, що а+b=b+а, а+(b+с)=(а+b)+с, (α+β)а= αа+βа, α(а+b)= αа+αb, (а+b)с=ас+bс, аb=|a||b|cos (a^b).