11. Означення та основні властивості визначників. Необхідна і достатня умова рівності визначника нулеві.

Означення: Визначником матриці n-ого порядку називається алгебраїчна сума n! доданків, кожен з яких є добутком n елементів взятих по одному і тільки одному разу і кожний доданок входить із знаком -1 в степені t, де t число інверсій підстановки складеної із символів доданка. .

Основними властивостями визначників є:

1. Якщо у визначнику поміняти місцями рядки і стовпці, то визначник від того не зміниться.

Доведення: випишемо один із доданків визначника: .

Побудуємо

, який відповідає Т. У Т елементи беруться із різних рядків і різних стовпців, але у Т₁ елементи також будуть належати.

Підстановки А і А₁ різні, але число інверсій символів одинакові. Значить t = t₁. Отже Т₁ буде одним із доданків визначника . Провівши такі міркування для всіх n! доданків визначника і просумувавши їх завершуємо доведення властивості.

2. Якщо кожний елемент одного з рядків визначника = 0, то визначник також дорівнює 0.

Доведення: Кожний з n! доданків визначника містить множником, елемент того рядка, який складається з нулів, а значить кожний з n! доданків дорівнює 0.

2^/. Якщо у визначнику n-ого порядку всі елементи одного із стовпців = 0, то визначник = 0.

3. Якщо кожний елемент одного з рядків містить множником число m, то його можна можна винести за знак визначника.

Доведення: Згідно означення визначника кожний з n! доданків містить множником число m, яке можна винести за дужки.

3^/. Якщо кожний елемент одного з стовпців містить множником число m, то його можна можна винести за знак визначника.

4. Якщо у визначнику поміняти місцями будь-які два рядки, то знак визначника зміниться на протилежний.

Доведення: Випишемо будь-який доданок визначника . поміняємо у визначнику перші два рядки: .

Покажемо, що ₁ = - . Розглянемо вираз: Очевидно, що елементи добутку Т₁ взяті по одному разу з різних рядків і стовпців з визначника, значить такий самий добуток елементів є у доданку Т. Складемо підстановку індексів для А₁. . Підстановка А₁ відрізняється від підстановки А. А друга перестановка А1 співпадає з другою перестановкою підстановки 2. Ми знаємо, що кожна транспозиція змінює парність перестановки, значить , таким чином ми отримаємо що Т₁= Т. Провівши такі міркування для всіх n! доданків, додавши їх отримаємо, що ₁ = .

4^/. Якщо у визначнику поміняти місцями будь-які два стовпці, то знак визначника зміниться на протилежний.

5. Якщо визначник має два однакових рядки, то він = 0.

Доведення: Розглянемо визначник і визначник в якому порівняно з визначником і t-рядок , і k-рядок. А якщо у визначнику ₁ поміняти місцями t і k рядки, то з однієї сторони ми отримаємо визначник , а з другої сторони згідно властивості 4 він поміняє знак на протилежний. Отримали

= - ; 2 = 0; = 0.

5^/. Якщо визначник має два однакових стовпці, то він = 0.

6. Якщо у визначнику всі елементи одного із стовпців є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників.

Нехай перший стовпець є сумою двох доданків

Доведення: За означенням визначника , то є

6^/. Якщо у визначнику всі елементи одного із стовпців є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників.

7. Якщо визначник має два пропорціональних рядки, то він дорівнює 0.

Доведення: Нехай другий рядок пропорціональний першому рядку і m коефіцієнт пропорційності. Згідно властивості 3 m можна винести за знак визначника, то згідно властивості 5 визначник дорівнює 0.

7^/. Якщо визначник має два пропорціональних стовпці, то він дорівнює 0.

8. Якщо до елементів i-ого рядка додати елементи k-ого рядка помножене на те саме не нульове число m, то визначник від того не зміниться.

8^/. Якщо до елементів i-ого стовпця додати елементи k-ого стовпця помножене на те саме не нульове число m, то визначник від того не зміниться.

9. Якщо до будь-якого рядка додати лінійну комбінацію інших рядків, то від того визначник не зміниться.

9^/. Якщо до будь-якого стовпця додати лінійну комбінацію інших стовпців, то від того визначник не зміниться.

10. Якщо один із рядків є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює 0.

10^/. Якщо один із стовпців є лінійною комбінацією інших стовпців, то визначник дорівнює 0.

11. Якщо у визначнику всі елементи і-ого рядка дорівнюють 0 крім a_ir, то визначник дорівнює добутку ненульового елемента на його алгебраїчне доповнення.

12. Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

13. Лема: Сума добутку елементів k-ого стовпця на алгебраїчне доповнення r-ого стовпця дорівнює 0.

13^/. Сума добутку елементів r-ого рядка на алгебраїчне доповнення n-ого рядка дорівнює 0.

Теорема: Для того, щоб визначник дорівнював 0, необхідно і достатньо, щоб його рядки(стовпці)були лінійно-залежними.

Необхідність: задано, що визначник дорівнює 0, потрібно довести, що його рядки(стовпці) лінійно-залежні. Так як визначник =0, то це означає, що або один з рядків(стовпців) складається з нулів, а значить ранг матриці відповідного визначника менше за n, тобто його рядки(стовпці)лінійно-залежні, або визначник має два однакових рядки(стовпці), це означає, що вони лінійно-залежні.

Достатність: задано, що рядки(стовпці) лінійно-залежні, довести, що визначник дорівнює 0. Якщо рядки(стовпці) лінійно-залежні, то принаймні один з рядків(стовпців) є лінійною комбінацією інших, тобто використовуючи властивості визначників, ми можемо перетворити його так, щоб всі елементи принаймні одного з рядків(стовпців) = 0.