28. Многочлени з дійсними коефіцієнтами. Спряженість уявних коренів таких многочленів. Незвідні над полем дійсних чисел многочлени та канонічний розклад многочленів над полем дійсних чисел.

Многочлен виду (1), де – дійсні числа наз. многочленом з дійсними коефіцієнтами.

Т.1. Якщо комплексне число є коренем многочленна , то спряжене комплексне число також є коренем цього многочлена.

Доведення. Обчислимо значення відокремивши дійсну і уявну частини, матимемо:

(2).

Але є коренем (1), тому , звідки .

Обчислимо тепер вираз . Через те, що всі коефіцієнти – дійсні числа, то і тому (3).

Порівнюючи (2) і (3) бачимо, що можна дістати з в результаті заміни всіх чисел спряженими. Оскільки над цими числами виконується лише дії додавання і множення, то на підставі властивостей комплексних чисел і є спряжені комплексні числа, тобто . Але ми вже показали, що . Отже, , тому є коренем даного рівняння.

Т.2. Якщо комплексне число є коренем k-ї кратності многочленна з дійсними коефіцієнтами, то спряжене комплексне число є коренем многочленна тієї ж кратності .

Т. Кожний многочлен над полем дійсних чисел допускає єдиний розклад на незвідні множники в цьому полі виду: .

Доведення. Як відомо з теорії подільності многочленів для у полі дійсних чисел можливий розклад виду (4), причому – незвідні у полі многочлени, які визначаються з точністю до сталого множника. Якщо поставити вимогу, що старші коефіцієнти цих многочленів дорівнює 1, то вони визначатимуться однозначно.

є многочленами не вище 2-го сепеня. Припустимо, що є множники 1-го степеня, а – незвідні множники 2-го степеня, тоді (4) матиме вигляд: .

дорівнює старшому коефіцієнту , а – його дійсні корені . Отже цей розклад збігається з формулою в умові теореми.

29. Многочлени над полем раціональних чисел. Цілі і раціональні корені многочленна з цілими коефіцієнтами. Незвідні над полем раціональних чисел многочлени.

Наявність рац. коренів у довільно взятого алгебраїчного рівняння явище досить рідкісне.

Якщо многочлен над полем рац. чисел , або ж це те ж саме, що рівняння з рац. коефіцієнтами має рац. корені, то часто ці корені знаходяться досить просто .

Незвідність.

Т.1. Для того, щоб був звідний у полі рац. чисел, необхідно і достатньо, щоб він був звідним у кільці цілих чисел, тобто, щоб існували многочлени і ненульового степеня з цілими коефіцієнтами такі, що .

Т.2. (Ейзенштейна). Якщо в многочленні коефіцієнти діляться на деяке просте число причому не ділиться на , а старший коефіцієнт не ділиться на , то многочлен незвідний у полі рац. чисел.

Т.3. Якщо многочлен , степінь якого більше 1, має хоча б один рац. корінь , то звідний у полі рац. чисел.

Т.4. У кільці многочленів над полем рац. чисел є многочлен довільного степеня, незвідні у полі .

Т.5. Якщо многочлен 3-го степеня не має рац. коренів, то він незвідний у полі рац. чисел.

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай , де і – многочлени ненульового степеня з кільця . Оскільки сума степенів дорівнює 3, то один з них обов’язково має степінь один, другий – два.

Нехай – 1-го степеня з рац. коефіцієнтом, , але тоді число є рац. коренем многочлена , а тому й многочлена . Звідси випливає, що має рац. корені, що суперечить умові.

Цілі і раціональні корені.

Т.1. Щоб число , де і – взаємно прості числа, було коренем рівняння (1) з цілим коефіцієнтом, необхідно, щоб було дільником вільного члена , а – дільником старшого коефіцієнта цього рівняння.

Доведення. Нехай є коренем рівняння (1). Тоді , або . Через те, що всі доданки, крім останнього, діляться на і сума ділиться на , то й ділиться на . Але і – взаємно прості. Отже, ділиться на . Аналогічно на .

Т.2. Для того, щоб , де були рац. коренем многочлена необхідно, щоб при довільному цілому число ділилося на (якщо тільки ).