16.Базис і розмірність скінченно вимірного векторного простору. Ізоморфізм векторних просторів.

Означення. Векторний простір V наз. скінченновимірним, якщо він породжується скінченною множиною векторів. Базисом скінченновимірного векторного простору називається будь-яка скінченна лінійно незалежна система векторів, яка породжує весь простір.

Також, можна сказати, що базисом скінченновимірного векторного простору є довільний базис будь-якої його скінченної системи твірних векторів.

Неважко перевірити, що за базис простору W₂ всіх геометричних векторів площини можна взяти будь-які два неколінеарні вектори. Будь-які три некомпланарні вектори утворюють базис простору W₃. У векторному просторі С над полем R один з базисів утворюють числа 1, і. У n-вимірному арифметичному векторному просторі за базис можна взяти одиничні вектори , оскільки вони лінійно незалежні і породжують весь простір . Всі ці простори є скінченновимірними. Прикладами просторів, які не є скінченновимірними, служать дійсний простір R[x] всіх многочленів від однієї змінної з дійсними коефіцієнтами, дійсний простір всіх неперервних на відрізку [а,b] функцій однієї дійсної змінної, нескінченновимірний арифметичний векторний простір над полем Р, оскільки вони, як неважко перевірити, не породжуються жодною скінченною множиною своїх елементів.

Теорема 1. Будь-який скінченновимірний векторний простір має базис, причому будь-які два базиси простору складаються з одинакової кількості елементів.

Наслідок 1. Якщо базис векторного простору V складається з n елементів, то будь-яка скінченна система векторів простору V, що містить більше, ніж n елементів, є лінійно залежною.

Наслідок 2. Якщо базис векторного простору V складається з n елементів, то будь-яка система з n векторів, що породжує весь простів V, є базисом цього простору.

Теорема 2. Будь-яку лінійно незалежну систему векторів скінченновимірного векторного простору V, що не є базисом, можна доповнити до базису простору V.

Означення. Розмірністю ненульового скінченновимірного векторного простору називається кількість векторів довільного базису цього простору. Розмірність нульового векторного простору V={0} вважається рівною нулю. Розмірність простору V позначається символом dimV.

Виходячи із побудованих раніше базисів у конкретних векторних просторах, отримаємо для їх розмірностей: dimW₂=2, dim W₃=3, dimV_n=n, dimC=2, якщо розглядати поле С як векторний простір над полем R.

З теореми 1 і наслідків з неї безпосередньо отримуються такі властивості розмірності векторного простору:

Властивість 1.. Якщо dimV=n, то при будь-яка система, що складається з k векторів простору V, лінійно залежна..

Властивість 2. Якщо dimV=n і система векторів лінійно незалежна, то .

Властивість 3. Якщо dimV=n і система векторів породжує простір V, то ця система є базисом простору V.

Означення. Взаємно однозначне відображення f: векторного простору V на векторний простір W, що задані над одним і тим самим полем Р, називається ізоморфізмом простору V на простір W, якщо для f виконуються умови:

(l) (f (a + b) = f (a) + f (b));

(2)

Простір V називається ізоморфним простору W, якщо існує ізоморфізм V на W.

Встановимо деякі властивості ізоморфізму векторних просторів.

Властивість 1. Якщо простір V ізоморфний простору W, то й, навпаки, простір W ізоморфний простору V, тобто відношення ізоморфізму векторних просторів є симетричним.

Властивість 2. Якщо простір U ізоморфний простору V, а простір V ізоморфний простору W, то простір U ізоморфний простору W, тобто відношення ізоморфізму векторних просторів є транзитивним.

Властивість 3. Якщо f: - ізоморфізм векторного простору V на простір W то f(0)=0.

Властивість 4. Якщо f: - ізоморфізм векторного простору V на простір W і - лінійно незалежна система векторів простору V, то f ( ),..,f (a_m) - лінійно незалежна система векторів простору W.

Властивість 5. Якщо f: - ізоморфізм векторного простору V на простір W і - базис векторного простору V, то f ( ),...,f ( ) - базис простору W.

Наслідок. Якщо скінченновимірні векторні простори V і W ізоморфні, то вони мають однакові розмірності.

Теорема. Будь-який ненульовий векторний простір розмірності n над полем Р ізоморфний n-вимірному арифметичному векторному простору V_n над полем Р.

Теорема . Два скінченновимірні векторні простори V і W ізоморфні тоді і тільки тоді, коли вони мають однакові розмірності.