3.2.2. Методы и алгоритмы

вычисления метрических признаков

Данная категория признаков, как отмечалось выше, отра­жает размер, форму, местоположение и ориентацию дискрет­ного объекта. Сюда входят следующие признаки: NS, NP, а, b, i₀, j₀, d₁, d₂, T, Е, A,  [14] (рис. 3. 2).

Вычислительные соотношения для подсчета площади NS и периметра NP дискретного объекта непосредственно следуют из определений, приведенных в приложении, и носят «процедурный характер». Признаки a, b — длины сторон описанного прямоугольника, d₁ и d₂ — максимальное и минимальное рас­стояния между внешними параллельными касательными к фи­гуре — называют также диаметрами Фере.

Подсчет величин а, b не вызывает затруднении, так как требует только знания координат i₁, i₂, j₁, j₂, которые легко определить в процессе анализа изображения. В то же время подсчет величин d₁, d₂ для дискретных объектов затруднен из-за отсутствия точных соотношений для касательной к граничной точке фигуры, способа нахождения параллельности прямолинейных дискретных отрезков и нахождения расстоя­ния между ними. Эти величины для выпуклых дискретных объектов часто хорошо аппроксимируются значениями, пропорциональными и, представляющими собой собствен­ные числа матрицы рассеяния множества DB.

Перечисленные признаки в основном характеризуют размер объекта. Признаки d₁,d₂дают также некоторую информацию о форме фигуры.

Местоположение объекта задается координатами его центра тяжести — (i₀, j₀). Вычислительные соотношения для подсчета этих координат имеют вид

, (3.1)

.

В соотношениях (3.1) через m₁₀, m₀₁, m₀₀ обозначены началь­ные моменты первого и нулевого порядка, вычисляемые согла­сно соотношению

, (3.2)

где f(i, j) —характеристическая функция объекта изображения, такая, чтоf(i, j) = 1, если точкаиf(i, j) = 0 в противном случае;DB— область объекта.

В ряде случаев соотношение (3.1) хорошо аппроксимиру­ется простыми формулами:

(3.3)

Для круговых и произвольно ориентированных эллипсоидных областей соотношение (3.3) выполняется точно. Наиболь­шие ошибки такой аппроксимации возникают для областей, имеющих сложную невыпуклую форму. Признак ориентации объекта  есть угол наклона главной оси инерции фигуры к оси абсцисс. Это направление задается собственным вектором матрицы рассеяния фигуры С₁, отвечающим максимальному собственному числу . В [32] предложена следующая вы­числительная формула для подсчета признака:

, (3.4)

где ₁₁,₀₂,₂₀— центральные моменты второго порядка, вычисляемые по формуле

,

p,q= 0, 1, 2, ... .

Перечисленные признаки с определенной долей условности можно считать первичными в том смысле, что их подсчет требует непосредственного анализа поля изображения. Рассмотрим возможные подходы к построению вычислительных алго­ритмов подсчета этих признаков.

Необходимо отметить, что без потери общности в большин­стве случаев f(i, j) представляет собой бинарное изображение, в котором объект (объекты) — области единиц, а фон — область нулей. Для более детального описания геометрических свойств помимо перечисленных рассматривают также признаки Т, E, А, характеризующие форму дискретного объ­екта [14, 17, 32].

Толщина Т, по определению, есть отношение площади к квадрату периметра и выражается, таким образом,

.

Нормировочный множитель 4 делает значение T максималь­ным (равным 1) для круга. Значение Т тем меньше, чем бо­лее вытянута фигура, так, что в пределе для линии. Толщину правильного n-угольника вычисляют по соотношению [17, 32]

.

Дискретные аналоги непрерывных фигур-объектов вносят известные погрешности в вариацию признака Т. Часто в ка­честве аппроксимационной формулы предлагается следующая [14]:

где _r,_r, —математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величиныr, представляющей со­бой расстояние от центра тяжести фигуры до граничной ее точки.

Признак компактности объекта E дает количественную оценку понятию, обратному толщине:

.

Если известна функция кривизны кривой k(s), то компактность можно понимать как интеграл вида

,

принимающий минимальное значение на круге из-за постоянства подынтегральной функции и возрастающий по мере ус­ложнения формы фигуры.

Удлиненность объектов принято характеризовать величиной, называемой отношением аспекта А [17, 32]. Отношение аспекта есть отношение собственных значений матрицы рассе­яния фигуры, т. е.

.

Для выпуклых произвольно ориентированных фигур отношение аспекта А хорошо аппроксимируется соотношениями

.

В [32] для подсчета Л предложена формула

,

где по-прежнему ₂₀, ₀₂, ₁₁, m₀₀ – центральные моменты 2- го порядка и начальный момент нулевого порядка соответственно.

Отметим, что в случае эллипсоидальных областей соотношение хорошо известно как эксцентриситет. Вот почему часто в публикациях этот признак имеет в качестве названия ука­занный термин.Наиболее простой в вычислительном отношении аппроксимацией является формула

A=a/b.

Понятно, однако, что наибольшие погрешности здесь будут возникать для продолговатых объектов, ориентированных под углом 45°, а наименьшие – для объектов, оси инерции кото­рых (направления собственных векторов матрицы рассеяния) параллельны координатным осям. Метрические признаки, про­анализированные выше, сведены для удобства в табл. 3.2. Рис. 3.3 иллюстрирует результаты эксперимента по подсче­ту большинства из обсуждаемых признаков для объектов-хромосом. В верхней части показан графический препарат изо­бражения метафазной пластинки (см. рис. 1.3, а), а в нижней части — фрагмент таблицы метрических признаков для отме­ченных восьми объектов. При этом NS' — площадь объекта без учета площади дыр, а с – средняя яркость объекта.

Таблица 3.2

Обозна­чение признака	Смысловое содержание	Матема­тическое опреде­ление	Вычислительные и аппроксимационные формулы
1	2	3	4
NS	Площадь дискретного объекта	NS=|DB|	1. 2. многоугольника с nвершинами, имеющими ко­ординаты k= 0, 1, ...,n– 1 3. y=y(s),x=x(s) – параметрическое задание границы объекта;s– длина дуги
NP	Периметр дискретного объекта	NP=|DE|
a, b	Длины сторон описан­ного прямоугольника (диаметры Фере с углом наклона /2)
d1,d2	Максимальное и мини­мальное расстояния между внешними параллельными касательными к объекту (диаметры Фере с произвольным углом наклона)
i0,j0	Координаты центра тяжести фигуры (объекта)	i0 = m10/ m00 j0 = m01/ m00	i0 = a/2, j0 = b/2
T	Толщина		– для правильногоn-угольника; , – числовые характеристики случайной велечиныR
E	Компактность объекта как понятие, обратное толщине		, k(s) – функция кривизны кривой
A	Отношение аспекта (эк­сцентриситет), характе­ристика удлиненности, вытянутости фигуры
	Ориентация объекта	Угол между осью xи направленнем собственного вектора С1матрицы рас­сеяния, состветствующего максимальному собс­твенному чи­слу