Задача 3.2.
Имеются данные о затратах времени на изготовление деталей в 200 отраслях:
Таблица 3.3
Время, затраченное на изготовление 1 детали, мин. |
Число деталей, штук |
Сумма накопленных частот, Si |
1 |
2 |
3 |
8-10 |
14 |
14 |
10-12 |
26 |
40 |
12-14 |
75 |
115 |
14-16 |
40 |
155 |
16-18 |
20 |
175 |
18-20 |
15 |
190 |
20-22 |
10 |
200 |
Итого |
200 |
889 |
По приведенным данным вычислите:
среднее значение варьирующего признака;
показатели вариации: размах, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты вариации и осцилляции;
моду и медиану.
Решение. задачи данного типа рекомендуется решать в табличной форме (табл. 3.4). За значение признака (хi) принимаются середины интервалов.
Таблица 3.4
xi |
fi |
xifi |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
9 |
14 |
9 · 14 = 126 |
|9 - 14,1| = 5,1 |
5,1 · 14 = 71,4 |
5,12 · 14 = 364,14 |
11 |
26 |
11 · 26 = 286 |
|11 - 14,1| = 3,1 |
3,1 · 26 = 80,6 |
3,12 · 26 = 249,86 |
13 |
75 |
975 |
1,1 |
82,5 |
90,75 |
15 |
40 |
600 |
0,9 |
36,0 |
32,40 |
17 |
20 |
340 |
2,9 |
58,0 |
168,20 |
19 |
15 |
285 |
4,9 |
73,5 |
360,15 |
21 |
10 |
210 |
6,9 |
69,0 |
476,10 |
Итого |
200 |
2822 |
24,9 |
471,0 |
1741,60 |
Определим среднее значение признака по средней арифметической взвешенной (формула (3.2):
Размах вариации рассчитываем как разницу между серединами первого и последнего интервалов (формула (3.16):
R = 21 - 9 = 12 мин.
Среднее линейное отклонение определяется по формуле (3.18):
Среднее квадратичное отклонение определим по формуле (3.20):
Дисперсия в данном примере определяется по формуле (3.22). данные для расчета содержатся в графах 2 и 6 табл. 3.4.
коэффициент вариации определяем, подставляя данные в формулу (3.30):
Коэффициент осцилляции (формула (3.28) в нашем примере равен:
Чтобы определить моду и медиану в данном интервальном ряде распределения, воспользуемся формулами (3.10) и (3.11).
Вначале определяют модальный интервал, т.е. интервал, имеющий наибольшую частоту. В данном примере модальным является интервал 12-14 минут, т.к. его частота составляет 75 единиц. Тогда нижняя граница модального интервала (хмо) составит 12, величина модального интервала (iмо) = 2, частота модального интервала (fмо) = 75, частота интервала, предшествующего модальному (f(мо-1)) = 26, частота интервала, следующего за модальным (f(мо+1)) = 40. Следовательно, мода равна:
Для определения медианы в интервальном ряде распределения воспользуемся формулой (3.11):
(3.11)
Найдем медианный интервал. У медианного интервала сумма накопленных частот должна быть равна половине суммы всех частот ряда или превышать эту величину. В нашем примере сумма всех частот равна 200 единицам, полусумма - 100 единиц (200 : 2). В гр. 3 табл. 2.3 рассчитываются суммы накопленных частот последовательным сложением частот каждой группы. Для первой группы сумма накопленных частот - 14 единиц, для второй - 40 (14+26), для третьей - 115 (14 + 26 + 75) и т.д.
В третьей группе сумма накопленных частот превысит полусумму всех частот ряда (115 > 100), следовательно, третья группа является медианной, а медианный интервал - 12-14 мин. тогда медиана равна:
Вывод. из приведенных расчетов видно, что среднее время на изготовление 1 детали составит 14,1 мин., при этом половина рабочих затратит на изготовление 1 детали в среднем не более 13,6 мин. (Ме = 13,6), а самая многочисленная группа затратит на изготовление 1 детали в среднем 13,2 мин.
Индивидуальное время на изготовление 1 детали отклоняется от среднего времени в среднем на 2,9 мин. (σ = 2,95), что составляет 20,9% (V = 20,9). Средняя типична для совокупности, т.к. коэффициент вариации не превышает 30%.
Так как Мо < Ме < , в нашем примере наблюдается правосторонняя асимметрия.
Расчет коэффициента асимметрии по формуле (3.14) подтверждает этот вывод, т.к. имеет положительное значение.
