Примеры решения задач Задача 7.1

На основе выборочного обследования 20 магазинов определить тесноту и форму связи между объемом товарооборота и уровнем издержек обращения.

Таблица 7.3

№ мага-зина	Объем товарооборота, млрд руб.	Издержки обращения, млрд руб.	№ мага-зина	Объем товарооборота, млрд руб.	Издержки обращения, млрд руб.
1	2	3	4	5	6
1	20,1	1,62	11	47,2	2,86
2	59,1	3,74	12	28,0	1,84
3	82,5	4,66	13	66,6	3,91
4	24,5	1,51	14	73,6	3,78
5	39,0	2,7	15	56,2	3,66
6	51,1	3,09	16	33,8	2,67
7	40,6	2,96	17	56,1	2,91
8	64,2	4,47	18	69,5	4,00
9	42,5	3,72	19	59,0	3,67
10	56,9	3,85	20	47,1	3,90

Решение. Вначале подберем подходящее уравнение, наиболее точно описывающее форму связи между объемом товарооборота и уровнем издержек.

В данном примере факторным признаком х выступает объем товарооборота, результативным признаком у - уровень издержек.

Д ля того, чтобы определить форму связи между признаками х и у, рекомендуем на первом этапе использовать графический метод. на рис. 7.1 представлено корреляционное поле, изображающее зависимость между объемом товарооборота и уровнем издержек, построенное на основе данных табл. 7.3.

Рис. 7.1. График корреляционной зависимости между уровнем товарооборота

И издержками обращения

Как видно на рис. 7.1, наиболее подходящей формой связи будет, вероятнее всего, уравнение прямой, но могут подойти и показательная функция, и полулогарифмическая. Поэтому произведем подбор уравнений для каждой из этих функций и определим наиболее точное уравнение путем сравнения остаточных дисперсий.

Для расчета параметров уравнения прямой воспользуемся методом определителей. Расчеты удобнее всего делать в табличной форме.

Таблица 7.4

№ п/п	х	у	ху	х2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	20,1	1,62	32,6	404,0	0,869+0,047· ·20,1=1,81	(1,62-1,81)2= =0,04	(20,1-50,88)2= =947,4
2	59,1	3,74	221,0	3492,8	0,869·0,047· ·59,1=3,65	(3,74-3,65)2= =0,01	(59,1-50,88)2= =67,6
3	82,5	4,66	384,4	6806,2	4,75	0,01	999,8
4	24,5	1,51	37,0	600,3	2,02	0,26	695,9
5	39,0	2,7	105,3	1521,0	2,70	0,0	141,1
6	51,1	3,09	157,9	2611,2	3,27	0,03	0,05
7	40,6	2,96	120,2	1648,4	2,78	0,03	105,7
8	64,2	4,47	286,9	4121,6	3,90	0,34	177,4
9	42,5	3,72	158,1	1806,3	2,87	0,72	70,2
10	56,9	3,85	219,1	3237,6	3,54	0,10	36,2
11	47,2	2,86	135,0	2227,8	3,09	0,05	13,5
12	28,0	1,84	51,5	784,0	2,18	0,12	523,5
13	66,6	3,91	260,4	4435,6	4,00	0,01	247,1
14	73,6	3,78	278,2	5417,0	4,32	0,29	516,2
15	56,2	3,66	205,7	3158,4	3,51	0,02	28,3
16	33,8	2,67	90,2	1142,4	2,46	0,04	291,7
17	56,1	2,91	163,2	3147,2	3,50	0,35	27,2
18	69,5	4,00	278,0	4830,2	4,13	0,02	346,7
19	59,0	3,67	216,5	3481,0	3,64	0,00	65,9
20	47,1	3,90	183,7	2218,4	3,08	0,67	14,3
Итого	1017,6	65,52	3585,1	57091,5	65,52	3,11	5316,0

Рассчитаем параметры а₀ и а₁, подставляя итоги гр. 2, 3, 4, 5 табл. 7.4 в формулы (7.11) и (7.12):

=

Тогда уравнение прямой примет вид:

. (7.34)

Подставляя реальные значения х в уравнение (7.34), заполним гр. 6 табл. 7.4. Сумма значений , рассчитанных по уравнению (7.34), должна быть равна сумме реальных значений у (итог гр. 3 табл. 7.4). В нашем примере

Данные гр. 7 табл. 7.4 позволяют рассчитать остаточную дисперсию для уравнения (7.34):

Проверим, можно ли воспользоваться на практике уравнением (7.34). для этого оценим параметры уравнения а₀ и а₁, рассчитав фактические значения t-критериев по формулам (7.24) и (7.25).

Данные для расчетов возьмем в табл. 7.4.

Для параметра а₀ фактическое значение t-критерия найдем следующим образом:

.

Для параметра а₁ t-критерий равен:

.

Дисперсия факторного признака найдена по данным табл. 7.4, итог гр. 8:

.

Табличное (критическое) значение t-критерия при уровне значимости 0,05 равно 2,3. Следовательно, параметры а₀ и а₁ значимы и могут применяться в практических расчетах.

Несмотря на это, следует проверить возможность использования и других уравнений. В данном случае предполагается использовать уравнение показательной функции и уравнение полулогарифмической функции.

для расчета параметров уравнения показательной функции составим табл. 7.5.

Таблица 7.5

№ п/п	lg y	x lg y		(y - )2
1	2	3	4	5
1	0,2095	4,2	1,33·1,01720,1=1,87	(1,62-1,87)2=0,06
2	0,5729	33,86	1,33·1,01759,1=3,60	(3,74-3,60)2=0,02
3	0,6684	55,14	5,34	0,46
4	0,1790	4,38	2,01	0,2
5	0,4314	16,82	2,57	0,02
6	0,4899	25,03	3,15	0,00
7	0,4713	19,13	2,64	0,10
8	0,6503	41,75	3,92	0,30
9	0,5705	24,25	2,72	1,00
10	0,5855	33,31	3,47	0,14
11	0,4564	21,54	2,96	0,01
12	0,2648	7,41	2,13	0,08
13	0,5922	39,44	4,09	0,03
14	0,5775	42,50	4,60	0,67
15	0,5635	31,67	3,43	0,05
16	0,4265	14,42	2,35	0,10
17	0,4639	26,02	3,42	0,26
18	0,6021	41,85	4,29	0,08
19	0,5647	33,32	3,60	0,00
20	0,5911	27,84	2,94	0,92
Итого	9,9312	543,9	65,1	3,63

Рассчитаем параметры уравнения показательной функции по формулам (7.13) и (7.14), воспользовавшись данными табл. 7.4 и 7.5:

Среднее значение найдено по данным табл. 7.4:

Уравнение показательной функции примет вид:

. (7.35)

Подставляя реальные значения х в уравнение (7.35), рассчитаем теоретические значения , необходимые для проверки значимости параметров уравнения и расчета остаточной дисперсии. Сравнивая суммы реальных ( ) и теоретических значений у ( ), можно сделать вывод о правильности расчетов, так как небольшие расхождения объясняются округлением при расчетах.

Остаточная дисперсия для уравнения показательной функции равна:

.

Проверим значимость параметров уравнения показательной функции, используя формулы (7.25) и (7.24):

а) параметра а₀

.

Так как фактическое значение t-критерия больше табличного, параметр уравнения а₀ считается удовлетворительным.

б) параметра а₁

.

Фактическое значение , гораздо выше табличного, следовательно, параметр а₁ приемлем для использования.

Проведем выравнивание по третьему виду функций - по полулогарифмической функции.

Таблица 7.6

№ п/п	lg х	lg х2	у lg х		(y - )2
	1	2	3	4	5
1	1,3032	1,6983	2,1112	-5,07+4,97·1,3032=1,41	(1,62-1,41)2=0,004
2	1,7716	3,1386	6,6258	-5,07+4,97·1,7716=3,73	(3,74-3,73)2=0,00
3	1,9164	3,6726	8,9304	4,45	0,04
4	1,3892	1,9299	2,0977	1,84	0,11
5	1,5911	2,5316	4,2960	2,84	0,02
	1	2	3	4	5
6	1,7084	2,9186	5,2789	3,42	0,11
7	1,6085	2,5873	4,7612	2,92	0,00
8	1,8075	3,2670	8,0795	3,91	0,31
9	1,6284	2,6517	6,0576	3,02	0,49
10	1,7551	3,0804	6,7571	3,65	0,04
11	1,6739	2,8019	4,7874	3,25	0,15
12	1,4472	2,0944	2,6628	2,12	0,08
13	1,8235	3,3251	7,1300	3,99	0,01
14	1,8669	3,4853	7,0569	4,21	0,18
15	1,7497	3,0615	6,4039	3,63	0,00
16	1,5289	2,3375	4,0822	2,53	0,02
17	1,7490	3,0590	5,0896	3,62	0,50
18	1,8420	3,3930	7,3680	4,08	0,01
19	1,7708	3,1357	6,4988	3,73	0,00
20	1,6730	2,7989	6,5247	3,24	0,44
Итого	33,6044	56,9684	112,60	65,60	2,56

Параметр а₀ рассчитаем по формуле (7.15), воспользовавшись данными табл. 7.4 и 7.6:

.

Подставляя фактические данные в формулу (7.16), рассчитаем параметр а₁:

.

Таким образом, уравнение полулогарифмической функции примет вид:

. (7.36)

Подставляя реальные значения х в уравнение (7.36), рассчитаем теоретические значения . Сравним сумму реальных и теоретических значений у.

(итог гр. 3 табл. 7.4)

(итог гр. 4 табл. 7.6).

Таким образом, уравнение (7.36) можно признать удовлетворительным (расхождения между и объясняется округлениями при расчетах).

Используя данные табл. 7.6, итог гр. 5, определим остаточную дисперсию:

.

Проверим значимость параметров уравнения (7.36), подставляя реальные данные в формулы (7.23) и (7.24):

.

.

Сравнивая фактические и табличное значения t-критерия, делаем вывод о возможности практического применения уравнения (7.36).

Итак, мы произвели подбор уравнений по трем функциям: прямой, показательной и полулогарифмической. Для того, чтобы выбрать одно уравнение, наиболее точно описывающее форму связи между объемом товарооборота и издержками обращения, следует сравнить величины остаточных дисперсий. Наиболее подходящим считается то уравнение, у которого остаточная дисперсия имеет самое маленькое значение.

Таблица 7.7

Функция	Уравнение	Оценка параметров	Величина остаточной дисперсии
прямой	= 0,869+0,047х	значимы	0,15
показательная	= 1,33·1,017х	значимы	0,18
полулогарифмическая	= -5,07+4,97·lgx	значимы	0,13

Как видно из табл. 7.7, самой подходящей является полулогарифмическая функция.

Так как полулогарифмическая функция относится к нелинейным формам связи, для измерения тесноты связи рекомендуется использовать индекс корреляции (корреляционное отношение). Он рассчитывается как отношение факторной и общей дисперсий (формула (7.20). для удобства расчетов составим табл. 7.8.

Таблица 7.8

№ п/п			№ п/п
1	(1,41-3,276)2=3,48	(1,62-3,276)2=2,74	11	0,00	0,17
2	(3,73-3,276)2=0,21	(3,74-3,276)2=0,22	12	1,34	2,06
3	1,38	1,92	13	0,51	0,40
4	2,06	3,12	14	0,87	0,25
5	0,19	0,33	15	0,12	0,15
6	0,02	0,03	16	0,56	0,37
7	0,13	0,10	17	0,12	0,13
8	0,40	1,43	18	0,64	0,52
9	0,06	0,20	19	0,21	0,16
10	0,14	0,33	20	0,00	0,39
			Σ	12,45	15,02

Среднее значение у найдем по данным табл. 7.4:

.

Теоретические значения , рассчитанные по уравнению (7.36), берем в гр. 4 табл. 7.6, реальные значения у в гр.3 табл. 7.4. Подставляя данные в формулу (7.21), рассчитаем факторную дисперсию:

Общую дисперсию найдем по формуле (7.22):

.

Тогда индекс корреляции равен:

.

Значение индекса корреляции свидетельствует о том, что между объемом реализации и суммой издержек имеется весьма высокая связь.

Проверим значимость индекса корреляции по формуле F-критерия Фишера (формула (7.30)):

.

Табличное значение F_R при уровне значимости 0,01 равно 8,28. Следовательно, F_R > F_Rt, а индекс корреляции признается существенным.

Рассчитав индекс детерминации (формула (7.23)), можно установить, что вариация суммы издержек обращения на 83% обусловлена изменением объема реализации.

.

Таким образом, для практического применения рекомендуется модель, базирующаяся на уравнении полулогарифмической функции.