20. Понятие бинарного отношения. Рефлексивные бинарные отношения. Симметричные бинарные отношения. Транзитивные бинарные отношения.

Пусть А и В - множества. Выражение вида (а,в), где и , называется упорядоченной парой. Бинарным отношением называется любое множество упорядоченных пар. Пусть даны два множества А и В. Бинарным отношением на паре множеств А и В называется любое подмножество декартова произведения А на В. R c AxB.

Свойства бинарных отношений: Пусть R – бинарное отношение на множестве А, А=О. R c AxA. 1) R называется рефлексивным, если Ja c R (то есть R содержит диагональ множества А). 2) R называется антирефлексивным, если пересечение R и диагонали множества A – пусто. 3) R называется симметричным, если вместе с каждой упорядоченной парой R содержит также инверсную с ней. Инверсной парой называется (х,у) по отношению к (у,х). Упорядоченные пары (х,у) и (у,х) наз-ся взаимноинверсными. (х,у) R (у,х) R или хRу уRх. 4) R называется антисимметричным, если оно не содержит никаких двух различных взаимноинверсных пар. хRх можно. xRy и yRx х=у. 5) R называется транзитивным, если для любых трёх элементов множества А: х,у,z из того, что хRу и уRz хRz. 6) R называется связным, еслидля любых двух х,у А выполняется хотя бы одно из трёх условий: хRу, уRх, х=у.

21. Понятие бинарного отношения. Отношение эквивалентности; теорема о разбиении множества на классы эквивалентности.

Пусть А и В - множества. Выражение вида (а,в), где и , называется упорядоченной парой. Бинарным отношением называется любое множество упорядоченных пар. Пусть даны два множества А и В. Бинарным отношением на паре множеств А и В называется любое подмножество декартова произведения А на В. R c AxB. Бинарное отношение R на множестве A называется отношением эквивалентности на A, если R рефлексивно, симметрично и транзитивно. Семейство непустых подмножеств множества А называется разбиением множества А, если объединение всех подмножеств этого семейства совпадает с множеством А и при этом различные подмножества данного семейства не пересекаются. Теорема: Пусть А не пустое множество, R- отношение эквивалентности на множестве А. Тогда фактор-множество А/ R – есть разбиение множества А. Доказательство:

22. Понятие отображения. Взаимооднозначные (биективные) отображения. Операция композиции отображений и ее свойства.

Пусть А и Б не пустые множества R c AxB. Бинарное отношение на паре множеств А и Б называется функцией (отображением) из А в Б если для каждого элемента а из множества А сушествует единственный элемент в из множества В (а,в принадлежит R).

Обозначение: f g h

Пусть f фунция из А в В. Для любого а из множества А, сушествует единстьвенный в из множества В: (а,в) принадлежит R, (а,в) принадлежит f. в = F(а) в – образ элемента а при отображении F, а – прообраз элемента в. Образ всегда один, прообраз один, F: А --» В

F = {(а, f(а) /а принадлежит А} Равными мы считаем функции, если они ровны как отношения (Бинарные), то есть g:A--»В и f:A--»В, f = g тогда и только тогда, если для любого а из множества А: f(a) = g(a)

f – называется инъективной если она переводит разные элементы в разные.

f – называется сюръективной функцией если любой элемент в из множества В имеет хотя бы один прообраз.

f – называется биективной если она одновременно еньективна и сюръективна.

f – называется биекцией если любой в из множества В имеет ровно один прообраз.

Биекция это взаимно однозначные отображения.

Определение

Данное множество является функцией из А в С и называется композицией функций