10.Составление уравнения динамики и нахождение динамической характеристики гидравлического резервуара со свободным сливом жидкости

Р ассмотрим гидравлический объект, жидкость из которого отводится самотеком через вентиль. Выходной величиной объекта является изменение уровня жидкости L . а входной - изменение потоков жидкости на входе Fпр и выходе Fр. Найдем уравнение динамики.

Материальный баланс объекта определяется равенством

Fпрdt=AdL+Fpdt, где Fпр – количество жидкости, поступившее в объект за время dt; dL – приращение уровня жидкости в аппарате; Fpdt – количество жидкости, выведенное из объекта за время dt; A=conts – площать горизонтального сечения аппарата.

Группируя слагаемые с выходными величинами в левой части, а слагаемые с входными величинами в правой части, получим: A dL/dt=Fпр-Fр Выходная величина объекта L влияет на входную величину Fр по нелинейному закону: Fр = αa ,где α – коэффициент расхода вентиля на линии отвода жидкости; а – площадь проходного сечения вентиля; g- ускорение свободного падения.

Линеанизируем зависимость по методу малых отклонений путем разложения ее в ряд Тейлора в окрестности точки а_о, L_o, пренебрегая малостями второго и более высокого порядков.

Р азложение в ряд Тейлора зависимости Fр=f(α,L) по α и L. Взяв производные, получим:

11.Составление уравнения динамики и нахождение динамической характеристики гидравлического резервуара, жидкость из которого откачивается центробежным насосом

Рассмотрим резервуар (см. рис.II-1), из которого насосом откачивается жидкость, причем производительность F_p постоянна.

Д ля нахождения зависимости уровня жидкости в аппарате L от входных величин Fпр и Fр (в м3/с) составим уравнение материального баланса аппарата: Fпрdt = dV + Fрdt, где V – объем жидкости в аппарате, м3; t – время, с. Отсюда скорость изменения объема жидкости в аппарате: dV/dt =Fпр-Fр (1).

Скорость изменения уровня жидкости L, если площадь горизонтального сечения аппарата А (в м²) неизменна по высоте dL/dt =(Fпр - Fр)/A (2)

Таким образом, скорость изменения уровня в резервуаре пропорциональна разности потоков жидкости на входе и выходе. Уровень жидкости принимает постоянные значения во времени (скорость dL / dt = 0) только при отсутствии рассогласования потоков Fпр и Fр. Проинтегрируем уравнение (2) в пределах от 0 до t.

Следовательно, выходная величина объекта пропорциональна интегралу от изменения его входных величин. При ступенчатом изменении нагрузки объекта на величину ΔF уровень жидкости L изменяется по зависимости (1): L = (ΔF / A)∙t + L₀ (3).

Как следует из уравнения (3), скорость изменения выходной величины при ступенчатом возмущении ΔF постоянна и равна dL / dt = ΔF / A

При расчетах систем автоматизации уравнение динамики объекта представляют в относительных величинах. Предполагая, что Fпр является возмущением, а Fр – регулирующим воздействием (см. рис.II-1), имеем x = ΔL / L₀; u = ΔFр / F₀; z = ΔFпр / F0 где L₀ и F₀ – значения соответствующих величин при равновесном состоянии объекта. Запишем уравнение (2) в приращениях dΔL / dt = (ΔFпр - ΔFр) / A и введя относительные величины (L₀ / L₀)∙(A / F₀)∙(dΔL / dt) = (ΔFпр / F0) - (ΔFр / F0), получим уравнение динамики: (AL₀ / F₀)∙(dx / dt) = z – u (4)

Из уравнения (4) видно, что отношение AL₀ / F₀ имеет размерность времени. Его называют временем разгона объекта и обозначают через Тε. Заменяя коэффициент в левой части уравнения (4) через Тε, получим уравнение динамики нейтрального объекта первого порядка в общем виде Тε∙(dx / dt) = z – u (5) Интегрируя уравнение (5), найдем To dx/dt+x=kz-ku

В нашем случае u = 0. При единичном ступенчатом возмущении z = 1(t) изменение выходной величины x подчиняется зависимости: x=kz(1-e^-t/T)