16. Поиск остова и минимального остова.

 Опред. Маршрутом (путем) в графе G между вершинами x и y называется упорядоченное множество ребер следующего вида:M={ ei |  v1,..,vn  V [P(x,e1,v1)/\P(v1,e2,v2)/\.../\P(vn-1,en,vn)/\P(vn+1,e,y)]}.

Пример.

 

Опред. Вершины x и y называются взаимнодостижимыми, если существует маршрут из х в у и из у в х.

Опред. Остовом или каркасом неориентированного графа G называется суграф G’={V’, E’, P’}, построенный следующим образом.

A) Сначала V’:=V, E’:=0;

B) Перебираем ребра ei из E и включаем их в E’ в том случае, если на данный момент вершины - x,y, где P(x,ei,y) (т.е. вершины, которые соединяет данное ребро)- взаимно недостижимые.

Это определение фактически дает алгоритм построения остова.

Пример

                      2                                 4

              1

                      3            5                         6

Теорема. Количество элементов в остове <=n-1.

Док-во опускается.

Запишем алгоритм в формальном виде:

ВХОД - граф, заданный масcивом ребер G[i,1] и G[i,2] соответственно вершины, инцидентные i-му ребру. Считаем, что граф неориинтированный, и поэтому если в массиве есть запись (x,y) считаем, что нет записи (y,x); m- число ребер в G, n - число вершин в G.

ВЫХОД - остов G’, заданный массивом ребер G1. число ребер в остове - i1

Главная проблема при построении алгоритма - определение факта взаимодостижимости вершин. Эта проблема решена путем введения вcпомогательного массива A[1..n], который поддерживается таким образом, что все взаимно-достижимые на данный момент вершины имеют одинаковое значение.

Алгоритм выглядит так:

procedure ostov;

for i:=1 to n do A[i]:=i; //обозн., что любая вершина достижима сама с собой.

i1:=0; // i1 - число ребер в остове

for i:=1 to m do if A[G[i,1]]<>A[G[i,2]] then begin //если G[i,1] и G[i,2] - недостижимые - включаем i-е ребро в остов.

inc(i1); //включаем ребро

G1[i1,1]:=G[i,1]; G1[i1,2]:=G[i,2]; // в остов

//перестроение массива A.

if A[G[i,1]]<>G[i,1] then begin

A[G[i,2]]:=A[G[i,1]];

for j:=1 to n do if A[j]=G[i,2] then A[j]:=A[G[i,1]]

end else if A[G[i,2]]<>G[i,2] then begin

A[G[i,1]]:=A[G[i,2]];

for j:=1 to n do if A[j]=G[i,1] then A[j]:=A[G[i,2]]

end else A[G[i,2]]:=A[G[i,1]];

if i1=n -1 then break;

end;

end;

Оценим трудоемкость T(n)~m+(n-1)n~m+n². первое слагаемое - мах придется просмотреть все m ребер, 2-е - max n-1 включений ребер в остов, каждое приводящее мах к n шагов по перестройке массива A.

Поиск минимального остова графа.

Пусть дан взвешенный граф G. Его остов, который имеет минимальную сумму весов ребер среди всех остовов графа G называется минимальным остовом графа G.

Алгоритм решения задачи тривиален:

ВХОД - граф G, заданный расширенным списком ребер G

ВЫХОД - минимальный остов, заданный расширенным списком ребер G1.

sort(E); //сортируем множество ребер по возрастанию весов.

ostov; .//вызов процедуры поиска остова (см. 2.4.)

Этот алгоритм впервые предложен был Краскалом, он же доказал его корректноcть.

Заметим, что для алгоритма Краскала. T~mlog m+n². С учетом того, что для простых графов m<=n² имеем, что T~o(n²logn), т.е. даже наихудшие характеристики незначительно хуже. чем у алгоритма поиска простого остова. Кроме того, следует учитывать, что в реальных задачах часто m<<n².