25. Элементы теории игр.

Основные понятия.

L( ) min(max) x

При этом мы предполагаем, что неуправляемый нами вектор управляется ЛПР у которого свои интересы. В простейшем случае смотря на ситуацию со стороны считаем что таких ЛПР двое хотя возможны случаи и наличие нескольких противоборствующих ЛПР.

Такая ситуация называется игровой ситуацией или игрой.

Соответственно противоборствующих ЛПР называют игроками, их отдельные решения – ходами, совокупность их ходов в процессе игр – стратегиями.

Теория игр - теория математических моделей принятия решений в условиях неопределенности, в условиях столкновения, конфликтных ситуациях, когда принимающий решение субъект (игрок), располагает информацией лишь о множестве возможных ситуаций, в одной из которых он в действительности находится, о множестве решений, которые он может принять, и о количественной мере того выигрыша, который он мог бы получить, выбрав в данной ситуации данную стратегию.

Теория игр пытается математически объяснить явления возникающие в конфликтных ситуациях, в условиях столкновения сторон. Такие ситуации изучаются психологией, политологией, социологией, экономикой. Классификация игр

1. По выигрышу:

   • Антагонистические игры;

   • Игры с нулевой суммой.

2. По характеру получения информации:

   • Игры в нормальной форме (игроки получают всю информацию до начала игры);

   • Динамические игры (информация поступает в процессе игры).

3. По количеству стратегий:

• Конечные игры;

• Бесконечные игры.

4. По составу игроков:

• Бескоалиционные игры;

• Коалиционные игры.

Принципы принятия решений в играх со строгим соперничеством.

Эти принципы предопределены тем, что теория считает игроков условно равными по степени разумности, никому не отдает предпочтения и дает рекомендации всем игрокам.

1. Принцип осторожности.

При выборе стратегии игрок предполагает наихудшее для себя решение соперника, что приводит к обеспечению max гарантийного выигрыша. Математически этот принцип выражается в максиминной стратегии для 1 игрока и минимаксной для 2го игрока.

min uij max

j i

2. Принцип уравновешенности (рекомендуемые стратегии должны быть не только защитными, но и уравновешенными)

Опр. Пара стратегий а_i^* , b_j^* называется уравновешенной, если ij выполняется:

i= j= Uij^* Ui^*j^* Ui^*j

С точки зрения алгебры точка Ui^*j^* называется седловой точкой платежной матрицы.

Теорема. В седловой матрицы если она существует одновременно достигаются ее максимин и минимакс, а для классической теории игр теорема формулируется так:

Уравновешенная пара стратегий, если такова существует является защитной.

Игра с седловой точкой.

Теорема. Матрица имеет седловую точку тогда и только тогда когда ее максимин = минимаксу.

V₁ = max min uij = min max uij = V₂ = V

i j j i

Теорема. Если матрица игры имеет седловую точку, то доказано, что защитная пара является уравновешенной.

Смешанные стратегии и их применение.

Понятие смешанных стратегий напоминает понятие смешанных точнее рандомизированных решений в задаче об играх с природой.

Фактически речь идет о том, что игрок будет принимать решение с помощью некоторого случайного механизма, что позволит оптимизировать средний выигрыш.

Таким образом можно заключить, что смешанная стратегия по определению является матрицей.

Опр. Смешанной стратегией 1го игрока называется вектор Х=(х_{1 ,}…, х_m) такой что ( i= )

X_i – мера целесообразности применение стратегии а_i

Смешанная стратегия 2го игрока: Y = (y₁, …, y_n )

Y_i – мера целесообразности применения стратегии b_j

Идея диверсификации состоит в том, что применяется некоторая механическая смесь элементарных решений и выбирается уже оптимальное смешанное решение.

Т.е. множество альтернатив выглядит следующим образом:

а₁ а₂

х₁ 1-х

- в партии х*100% будет % купленных кондиционеров

(1-х)*100% - % купленных обогревателей

Решение принимаем не элементарное, а множество смешанных решений.

Элементарные решения, при

Х=0 – обогреватели (а₂)

Х=1 – кондиционеры (а₁)

Рандомизированное решение. В данном случае в качестве смешанных решений выступают лотереи, исходами которых являются простые альтернативы

a₁ … а_m a₁ … a_m

p₁ … p_m x₁ ... x_m x_i p_i

условия нормировки выполняются.

Игры с нестрогим соперничеством. Некооперативный вариант.

А={a₁ , …, a_m} – стратегия 1го игрока

В={b₁ , …, b_m} – стратегия 2го игрока

2 матрицы U,W

Uij – выигрыш 1го

Wij – выигрыш 2го

Суть: интересы игроков не являются прямопротивоположными

2 игры: Семейный спор

Дилемма заключенных

Семейный спор – могут обсуждать альтернативы друг с другом

Дилемма заключенных – не могут

Вариант решения проблемы без переговоров называется некооперативным.

Кооперативный вариант. Совместные стратегии.

Кооперативный подход предполагает согласование решений между игроками.

Совместной чистой стратегией игроков (а_i, b_j) называется договоренность о том, что 1й игрок обязуется применить стратегию а_i , 2й игрок – стратегию b_j.

Совместно смешанной рандомизированной стратегией называется распределение вероятностей на множестве чистых стратегий.

z=(zij)_{m x n}

выигрыш 1го игрока: выигрыш 2го игрока:

U(z)= W(z)=

Практическая часть