Билет 13

В различных сферах деятельности человека под верифика́цией (от лат. verus — «истинный» и facere — «делать») могут подразумеваться разные понятия. Например:

Верификация — проверка, проверяемость, способ подтверждения, проверка с помощью доказательств, каких-либо теоретических положений, алгоритмов, программ и процедур путем их сопоставления с опытными (эталонными или эмпирическими) данными, алгоритмами и программами. Принцип верификации был выдвинут Венским кружком[1].

или

Верификация — это подтверждение соответствия конечного продукта предопределённым эталонным требованиям.

" Верификация " - методика распознавания лжи (укрывательства, искажения).

В значении доказуемости, проверяемости объяснений (моделей) объектов/явлений, в зависимости от степени подтверждаемости реальностью (эмпирически, фактами), образует понятия:

Гипотеза — недоказанное правдоподобное утверждение на основе ряда подтверждающих её наблюдений или суждений, понятий, постулатов (в науке). Гипотезы, основанные на ложных суждениях, неправильных понятиях, постулатах, составляют псевдонауку[2].

Концепция — модель с подтверждающими её истинность фактами и/или без них (см. Философия).

Теория — объяснение с предоставлением доказательств максимальной степени (см. Наука).

Корень различного понимания понятия верификация кроется в спектре возможностей сличения соответствия конечного продукта предопределённым требованиям. Верифицировать соответствие конечного продукта предопределённым требованиям возможно, в зависимости от ситуации, по прямым и косвенным характеристикам этого конечного продукта. А также существует процессный подход, который отслеживает продвижение продукта к

предопределённым требованиям.

Верификации принцип (от лат. verus - истинный и facio - делаю) - принцип установления осмысленности высказываний, выдвинутый логическим позитивизмом (см. Неопозитивизм ). Сформулирован Моритц Шлика и Л. Витгенштейном и развит в работах Венского кружка. За В. п., высказывания считается осмысленным, если можно установить его истинность или ложность.

 Принцип верификации. Критерии

Истинность или ложность высказываний устанавливается только если данные ощущений подтверждают или опровергают их смысл, причем, если нельзя установить соответствие или несоответствие содержания высказываний и данных чувственных наблюдений, принцип верификации предполагает возможность гипотетико-логической проверки (см. гипотетико-дедуктивный метод ).

 

Билет 14

Билет 15

Теорема Тарского о невыразимости истины — теорема, доказанная Альфредом Тарским в 1936 году, важный ограничивающий результат в математической логике, основаниях математики и формальной семантике. Теорема гласит, что множество истинных формул арифметики первого порядка (т.е. множество их номеров при любой фиксированной гёделевской нумерации) не является арифметическим множеством. Другими словами, понятие арифметической истины не может быть выражено средствами самой арифметики. Теорема Тарского применима к любой достаточно сильной формальной системе.

Теоре́ма Гёделя о неполноте́ и втора́я теоре́ма Гёделя[~ 1] — две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение.

Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.

Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики.

Эти теоремы были доказаны Куртом Гёделем в 1930 году (опубликованы в 1931) и имеют непосредственное отношение ко второй проблеме из знаменитого списка Гильберта.

Теорема Гёделя о неполноте

В первоначальной форме

В своей формулировке теоремы о неполноте Гёдель использовал понятие ω-непротиворечивой формальной системы — более сильное условие, чем просто непротиворечивость. Формальная система называется ω-непротиворечивой, если для всякой формулы A(x) этой системы невозможно одновременно вывести формулы А(0), А(1), А(2), ... и ∃x ¬A(x) (другими словами, из того, что для каждого натурального числа n выводима формулаA(n), следует невыводимость формулы ∃x ¬A(x)). Легко показать, что ω-непротиворечивость влечет простую непротиворечивость (то есть, любая ω-непротиворечивая формальная система непротиворечива)[6].

В процессе доказательства теоремы строится такая формула A арифметической формальной системы S, что[6]:

Если формальная система S непротиворечива, то формула A невыводима в S; если система S ω-непротиворечива, то формула ¬A невыводима в S. Таким образом, если система S ω-непротиворечива, то она неполна[~ 2] и A служит примером неразрешимой формулы.

Формулу A иногда называют гёделевой неразрешимой формулой

Интерпретация неразрешимой формулы

В стандартной интерпретации[~ 3] формула A означает «не существует вывода формулы A», то есть утверждает свою собственную невыводимость в S. Следовательно, по теореме Гёделя, если только система S непротиворечива, то эта формула и в самом деле невыводима в S и потому истинна в стандартной интерпретации. Таким образом, для натуральных чисел формула A верна, но в S невыводима[8].

В форме Россера

В процессе доказательства теоремы строится такая формула B арифметической формальной системы S, что[9]:

Если формальная система S непротиворечива, то в ней невыводимы обе формулы B и ¬B; иначе говоря, если система S непротиворечива, то она неполна[~ 2], и B служит примером неразрешимой формулы.

Формулу B иногда называют россеровой неразрешимой формулой[10]. Эта формула немного сложнее гёделевой.

Интерпретация неразрешимой формулы

В стандартной интерпретации[~ 3] формула B означает «если существует вывод формулы B, то существует вывод формулы ¬B». Согласно же теореме Гёделя в форме Россера, если формальная система S непротиворечива, то формула B в ней невыводима; поэтому, если система S непротиворечива, то формула B верна в стандартной интерпретации[11].

[бобщенные формулировки

Доказательство теоремы Гёделя обычно проводят для конкретной формальной системы (не обязательно одной и той же), соответственно утверждение теоремы оказывается доказанным только для одной этой системы. Исследование достаточных условий, которым должна удовлетворять формальная система для того, чтобы можно было провести доказательство её неполноты, приводит к обобщениям теоремы на широкий класс формальных систем. Пример обобщенной формулировки[12]:

Всякая достаточно сильная рекурсивно аксиоматизируемая непротиворечивая теория первого порядка неполна.

В частности, теорема Гёделя справедлива для каждого непротиворечивого конечно аксиоматизируемого расширения арифметической формальной системы S.

Полиномиальная форма

После того, как Юрий Матиясевич доказал диофантовость любого эффективно перечислимого множества, и были найдены примеры универсальных диофантовых уравнений, появилась возможность сформулировать теорему о неполноте в полиномиальной (или диофантовой) форме[13][14][15][16]:

Для каждой непротиворечивой теории T можно указать такое целое значение параметра K, что уравнение не имеет решений в неотрицательных целых числах, но этот факт не может быть доказан в теории T. Более того, для каждой непротиворечивой теории множество значений параметра K, обладающих таким свойством, бесконечно и алгоритмически неперечислимо.

Степень данного уравнения может быть понижена до 4 ценой увеличения количества переменных.

Связь с парадоксами

В стандартной интерпретации[~ 3] гёделева неразрешимая формула A означает «не существует вывода формулы A», то есть утверждает свою собственную невыводимость в системе S. Таким образом, A является аналогомпарадокса лжеца. Рассуждения Гёделя в целом очень похожи на парадокс Ришара. Более того, для доказательства существования невыводимых утверждений может быть использован любой семантический парадокс[18].

Следует отметить, что выражаемое формулой A утверждение не содержит порочного круга, поскольку изначально утверждается только, что некоторая конкретная формула, явную запись которой получить несложно (хоть и громоздко), недоказуема. «Только впоследствии (и, так сказать, по воле случая) оказывается, что эта формула в точности та, которой выражено само это утверждение»[18].

Вторая теорема Гёделя

В формальной арифметике S можно построить такую формулу, которая в стандартной интерпретации[~ 3] является истинной в том и только в том случае, когда теория S непротиворечива. Для этой формулы справедливо утверждение второй теоремы Гёделя:

Если формальная арифметика S непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость S.

Иными словами, непротиворечивость формальной арифметики не может быть доказана средствами этой теории. Однако существуют доказательства непротиворечивости формальной арифметики, использующие средства, невыразимые в ней.