9.6. Основы теории выбора управленческих решений

Последовательность выбора

Выбор решения является заключительным и наиболее ответственным этапом процесса принятия решений. Основная работа на этом этапе выполняется ЛПР, который должен осмыслить всю, полученную на этапах постановки задачи и формирования решений информацию, и использовать ее для обоснования выбора. Деятельность ЛПР при выборе решения характеризуется большой эмоциональной нагрузкой, связанной с волевым актом. Как уже отмечалось, волевое усилие является следствием необходимости реализации решения и принятия за него ответственности.

В реальных задачах принятия управленческих решений и этапу выбора все еще сохраняется большая неопределенность информации, поэтому сразу осуществить выбор единственного решения из множества сформулированных решений практически очень сложно. В связи с этим используется принцип последовательного уменьшения неопределенности, который заключается в последовательном сужении множества решений.

Различают три последовательные фазы такого сужения. На первой из них исходное множество альтернативных решений Y сужается до множества приемлемых или допустимых решений Y_Д  Y₁, где символ  означает, что множество допустимых решений Y_Д, является либо подмножеством, т.е. частью множества решений Y₁ либо совпадает с ним. На второй фазе множество допустимых решений сужается до множества эффективных решений Y₀  Y_Д. Наконец, на третьей фазе этапа выбора осуществляется выбор единственного решения Y^ из множества эффективных решений. Таким образом, последовательность выбора символически записывается в виде цепочки включений Y  Y_Д  Y₀  Y^ рассмотрим более подробно осуществление процесса сужения множества решений.

Множество альтернативных решений сужается до множества приемлемых решений на основе учета ограничений. Приемлемыми или допустимыми называются решения, удовлетворяющие множеству ограничений Г. Например, допустимыми кандидатами на вакантную должность начальника порта могут являться только те лица, которые по давним характеристикам, удовлетворяют сформулированным ограничениям. Процедура получения множества приемлемых решений из исходного множества может выполняться путем логического мышления или формально, в зависимости от степени формализации информации. Например, если имеется автоматизированная подсистема «Кадры», в которой имеется массив резерва на выдвижение, то сформулирован запрос на эту систему о выдаче информации по лицам, удовлетворяющим определенным требованиям для назначения на соответствующую должность, можно получить сразу список кандидатов, удовлетворяющих перечисленным в запросе ограничениям, т.е. получить множество приемлемых решений.

Выполнение ограничений является необходимым условием для выбора решений, поэтому единственное, окончательно принимаемое решение Y^, находится в множестве приемлемых решений. Отсюда следует, что для дальнейшего процесса выбора достаточно рассматривать только множество приемлемых решений.

На практике процесс сужения множества решений до допустимого осуществляется еще на этапе формирования самого исходного множества, и по существу это исходное множество уже является допустимым. Операция сужения часто осуществляется в неявной, скрытой форме, поэтому она остается незамеченной. Использование автоматизированных систем управления обычно требует четкой и явной формулировки ограничений для получения приемлемого множества решений.

Сужение множества приемлемых решений до множества эффективных решений осуществляется на основе анализа предпочтений. Решение называется эффективным, если не существует более предпочтительного. Множество эффективных решений в литературе называют также множеством Парето, множеством недоминируемых решений. В простейшем случае одной цели и одного показателя (признака) сравнения решений множество эффективных решений состоит из единственного, которое и является оптимальным решением Y^. В случае многих целей и показателей сравнения множество эффективных решений, как правило, включает более одного решения и содержит либо часть множества приемлемых решений, либо совпадает с ним. Отсюда следует, что в частных крайних случаях получение множества эффективных решений фактически не дает сужения множества допустимых решений или может давать сразу единственное оптимальное решение. Обычно множество эффективных решений является сужением множества допустимых решений и содержит более одного решения. Все решения в множестве эффективных решений несравнимы между собой, т.е. нельзя сказать, какое из них предпочтительнее.

Если сформулированы в качественной или количественной форме предпочтения на множестве показателей качества решений, то получение множества эффективных решений может быть формализовано и выполнено на электронно-вычислительных машинах. Алгоритмы получения множества эффективных решений будут изложены далее.

Непосредственно из определения множества эффективных решений следует, что оптимальное решение содержится только в этом множестве. Поэтому нахождение этого множества решений является необходимой процедурой в процессе выбора решений.

Определение единственного оптимального решения из множества эффективных в силу несравнимости этих решений может быть осуществлено только с привлечением дополнительной информации. Если такую информацию получить нельзя или ее получение нерационально вследствие ограниченности времени и больших затрат ресурсов, то единственное решение выбирается ЛПР из множества эффективных решений волевым порядком.

Критерии индивидуального выбора

Различные критерии оптимального выбора являются следствиями аксиомы рационального поведения, которая гласит: ЛПР выбирает решение так, чтобы максимизировать значение функции предпочтения. Это утверждение формально можно записать в виде

(54)

где Y^ – оптимальное решение. Практика показывает, что аксиома рационального поведения выполняется в подавляющем большинстве случаев.

Выбор того или иного конкретного критерия связан с определением стратегии выбора ЛПР. Он должен четко сформулировать, будет ли он действовать осторожно, рассчитывая на наихудший случай, или будет действовать с большим риском, рассчитывая на оптимистический, наилучший случай, или, наконец, его стратегия при выборе будет основана в расчета на некоторые средние условия. Перечисленные три стратегии определяют три группы критериев выбора. Поэтому формулировка критерия основана на определении стратегии выбора. Критерий является конкретным инструментом для проведения расчетов в целях получения оптимального решения.

Рассмотрим из ряда конкретных критериев индивидуального выбора решение «критерий максимума среднего выигрыша К».

Пусть имеется множество ситуаций s = (s₁, ..., s_n) с вероятностями появления Р = (Р₁, Р₂, ..., Р_n) и множество допустимых решений Y_Д = (Y₁, Y₂, ..., Y_m). На множестве ситуаций и решений определена функция предпочтения, оценивающая степень достижения каждым решением одной или всей совокупности целей

.

Поставим в соответствие каждому решению коэффициенты а_i (i = 1, 2, ..., m). Эти коэффициенты определяются предпочтениями решений и вероятностями ситуаций. Алгоритмы их вычисления будут рассмотрены далее отдельно для случаев количественных и качественных измерений. Чем больше коэффициент, тем более предпочтительным является соответствующее ему решение.

Используя коэффициенты решений, критерий максимума среднего выигрыша представим в виде

Эта запись означает, что необходимо выбрать из множества коэффициентов наибольший. Номер наибольшего коэффициента определяет номер решения, которое является оптимальным.

Если предпочтения измеряются в количественных шкалах, то коэффициенты решений в случае среднего выигрыша вычисляются как сумма взвешенных вероятностями ситуаций значений функции предпочтения.

(55)

Рассмотрим частные случаи. Пусть достоверность появления всех ситуаций одинакова, т.е. все вероятности равны между собой. Поскольку сумма вероятностей ситуаций равна единице, то при равенства вероятностей получаем, что все они равны Р_j = 1 / n, где n – количество ситуаций. В этом частном случае коэффициенты решений вычисляются по формуле

(56)

Множитель 1 / n не влияет на определение максимума, поэтому коэффициенты можно вычислять по формуле

(57)

Если имеет место только одна ситуация, например s_k, то ее появление является достоверным и, следовательно, Р_k = 1. Остальные ситуации имеют нулевые вероятности появленкя: Р_j = 0, j  k. В этом случае коэффициенты решений непосредственно равны значениям функции для k-той ситуации

т.е. (58)

Рассмотрим теперь измерение функция предпочтения в порядковой шкале, осуществляемое методами ранжирования или парного сравнения. Коэффициенты решений вычисляются по следующим формулам:

, (i = 1, 2, ..., m; t = 1, 2) (59)

Здесь t – номер шага приближения, с_ik – элементы осредненной по ситуациям матрицы парных сравнений решений, вычисляемые по формулам:

(60)

(61)

В выражении (60) Р_j – вероятности ситуаций, n – количество ситуаций, y_ik^j – i, k-й элемент матрицы парных сравнений решений для j-й ситуации, f_j(Y_i) – функция предпочтения Y_i-го решения j-й ситуации.

Пример 4. Определить оптимальное по критерию среднего выигрыша решение Y^ из множества трех допустимых решений Y₁, Y₂, Y₃ для случая четырех ситуаций s₁, s₂, s₃, s₄, ЛПР определил предпочтения решения для каждой ситуации в количественной шкале, которые приведены в табл. 21. В нижней строке этой таблицы даны вероятности ситуаций.

По формуле (55) вычислим коэффициенты решений _i. Результаты вычислений представлены в последней колонке табл. 21. Очевидно, что максимальным является коэффициент _i = 5,2, поэтому оптимальным является решение Y^ = Y₁.

Пример 5. Определить оптимальное по критерию среднего выигрыша решена из множества трех допустимых решений Y₁, Y₂, Y₃ для случая трех ситуаций s₁, s₂, s₃ вероятности появления которых Р₁, Р₂, Р₃ известны. ЛПР определил предпочтения решений для каждой ситуации в порядковой шкале. В табл. 22 представлены значения функции, предпочтения в рангах и вероятности ситуаций.

Таблица 21

sj Yi	s1	s2	s3	s4	i
Y1	1	4	5	9	5,2
Y2	3	8	4	3	4,5
Y3	4	6	6	2	5,0
Pi	0,1	0,2	0,5	0,2

Таблица 22

sj Yi	s1	s2	s3
Y1	1	2	1
Y2	2	1	3
Y3	3	3	2
Pi	0,5	0,3	0,2

Для каждой ситуации s_j запишем предпочтения решений в виде матрицы парных сравнений, руководствуясь правилом (21) и ранжировками табл. 22. В табл. 23-25 представлены матрицы парных сравнений ||J_ik¹||, || J_ik²||, || J_ik³|| соответственно для ситуаций s₁, s₂, s₃.

Для построения обобщенной матрицы парных сравнений в соответствии с формулой (60) просуммируем произведения матриц 23-25 на вероятности ситуаций (нижняя строка в табл. 22). Результаты вычислений представлены в табл. 26.

Вычислим коэффициенты решений первого приближения, воспользовавшись формулой (59) при t = 1. Возможность ограничиться только первым приближением обусловлена тем, что достаточно знать коэффициенты решений с точностью до порядка, поскольку последующая операция определения максимума требует знания только порядковых чисел, а не точ­ных значений коэффициентов. Выполняя вычисления, получим вектор коэффициентов решений

₁ = 0,45; ₂ = 0,35; ₃ = 0,2.

Наибольшим является коэффициент первого решения ₁ = 0,45, поэтому операция максимума приводит к выбору коэффициента ₁. Поскольку это коэффициент первого решения, то оптимальным по критерию максимума среднего выигрыша является решение Y₁.

Таблица 23

	Y1	Y2	Y3
Y1	1	1	1
Y2	0	1	1
Y3	0	0	1

Таблица 24

	Y1	Y2	Y3
Y1	1	0	1
Y2	1	1	1
Y3	0	0	1

Таблица 25

	Y1	Y2	Y3
Y1	1	1	1
Y2	0	1	0
Y3	0	1	1

Таблица 26

c11 = 1	c12 = 0,7	c13 = 1
c21 = 0,3	c22 = 1	c23 = 0,8
c31 = 0	c32 = 0,2	c33 = 1

Принципы группового выбора

Принципы группового выбора определяют согласование индивидуальных предпочтений в групповом предпочтении и, следовательно, по существу являются критериями выбора оптимального решения. Пусть F(f) – функция группового предпочтения, зависящая от вектора индивидуальных предпочтений f = (f₁, f₂, ..., f_d), где d— количество членов в групповом ЛПР. Выбор конкретного принципа согласования позволяет построить явный вид функции группового предпочтения. Рассмотрим ряд принципов согласования и соответствующие им функции группового предпочтения.

Принцип диктатора - П₁

В соответствии с этим принципом в качестве группового предпочтения принимается предпочтение одного лица группы – диктатора. Следовательно, функция группового предпочтения равна функции предпочтения диктатора f_k

(62)

Ввиду того, что при данном принципе совершенно не учитываются предпочтения других членов группы, понятие группового ЛПР теряет содержательный смысл. По существу групповое предпочтение в данном случае соответствует индивидуальному предпочтению.

Принцип большинства – П₂

В групповом ЛПР могут образовываться коалиции – объединения членов группы о совпадающими целями. Пусть в групповом ЛПР возникло множество коалиций V = (V₁, V₂, ..., V_s), где s – количество коалиций. При s = d все коалиции одноэлементные, т.е. включают только по одному члену и, следовательно, все члены группы преследуют разные цели. При s = 1 имеет место всего одна коалиция, включающая всех членов группового ЛПР и преследующая одну или несколько общих целей. В промежуточном случае 1 < s < d образуется конечное число коалиций.

Каждая коалиция имеет свою функцию предпочтения f_Vk. При измерении предпочтений в качественных шкалах объединение индивидуальных предпочтений в коалиционное предпочтение обычно осуществляется по принципу 100% большинства, т.е. одно решение предпочитается в коалиции другому, если все члены коалиции имеют такое же предпочтение. При измерении предпочтений в количественных шкалах коалиционное предпочтение обычно получают как взвешенную сумму индивидуальных предпочтений членов коалиции

(63)

где – индивидуальное предпочтение i-го индивида в j-й коалиции, k_i – коэффициенты весов членов коалиции; суммирование производится по всем номерам членов i, входящих в j-ю коалицию.

Таким образом, каждая коалиция характеризуется своей функцией предпочтения, а все множество коалиций, входящих в групповое ЛПР, характеризуется вектором функции предпочтения f = (fV₁, ..., fV_s).

Обозначим через П_Vj – количество членов, входящих, в коалиции V_j. Очевидно, что П_V1 + П_V2 + ... + П_Vs = d, т.е. сумма членов, входящих во все коалиции, равна количеству членов группового ЛПР.

Принцип большинства утверждает, что групповое предпочтение должно соответствовать предпочтению коалиции, которая имеет число членов (голосов), превышающих некоторый порог, формально это можно записать в виде

, при П_Vk > C d/2 (64)

где f_Vk – функция предпочтения коалиции, имеющей число голосов П_Vk, С – некоторый коэффициент, изменяющийся в пределах 1 С 2. При С = 1 порог равен половине членов группового ЛПР, поэтому говорят о принципе простого большинства голосов. При С = 4/3 порог равен 2/3 голосов, поэтому говорят о принципе большинства в 2/3 голосов, при С = d порог равен d, что соответствует абсолютному большинству голосов.

При измерении предпочтения в качественных шкалах определение группового предпочтения, соответствующего принципу большинства голосов, осуществляется путем нахождения медианы индивидуальных ранжирований или парных сравнений. Медиана групповой экспертной оценки соответствует принципу большинства голосов.

Принцип большинства голосов используется при демократическом способе принятия решений. Принцип диктатора характерен для военных организаций и широко пользуется при принятии в чрезвычайных обстоятельствах.

Принципы диктатора и большинства голосов не учитывают интересы всех индивидов группы. Их применение при отсутствии других сдерживающих факторов может привести к распаду группового ЛПР. В формулировке этих принципов не содержится оснований для обеспечения устойчивости существования группы.

Существуют принципы согласованности индивидуальных предпочтений, обеспечивающее в некотором смысле учет интересов всех членов группы, и, следовательно, сохраняющие ее устойчивость.

Пусть имеется множество коалиций V = (V₁, V₂, ..., V_s), s  d, где d – количество членов в группе. Решение называется V - оптимальным, если оно оптимально для всей коалиции.

V - оптимальность означает, что ни одной коалиции не выгодно менять этого решения, поскольку не существует лучшего времени. Рассмотрим конкретный принцип согласования, основанный на понятии V - оптимальности - принцип Парето.

Пусть множество коалиций состоит из одной коалиции, т.е. все члены группового ЛПР образуют единое целое, V - оптимальное решение в этом случае соответствует принципу Парето. Всем членам группы сразу невыгодно менять оптимального по принципу Парето видения, поскольку не существует лучшего. Принцип Парето выражает некоторый гуманистический идеал: все члены группы могут улучшать свои решения без нанесения ущерба другим членам. применение принципа Парето возможно только при сильной зависимости всех членов группового ЛПР. Эта зависимость выражается в общности целей всех членов группы.

Множество эффективных решений удовлетворяет принципу Парето, поэтому этот принцип широко используется в задачах выбора. Учитывая практическую важность этого принципа, он подробно рассмотрен в следующем параграфе.

Конкретизация принципов согласования может быть произведена на основе рассмотрения характера отношений между коалициями группового ЛПР. Рассматривается три типа отношений между коалициями: статус-кво, конфронтация и рациональность.

При отношении статус-кво предполагается бездействие коалиций, они стараются сохранить существующее положение. Это отношение используется в экономических моделях, в которых рассматриваются взаимодействия слабо связанных участков. Рассмотрим, какой вид будут иметь функции группового предпочтения в условиях отношения статус-кво

(65)

Функция группового предпочтения равна вектору индивидуальных предпочтений, такому, который при решении Y^ не хуже в векторном смысле, чем при любом другом решении.

Векторное отношение «не хуже» означает, что один вектор предпочтительнее другого, воли все компоненты первого вектора не хуже соответствующих компонент другого вектора и, по крайней мере, одна компонента первого вектора строго лучше, чем соответствующая компонента второго вектора. Очевидно, что решение Y^ не хуже решения Y₁ для всех членов сразу, т.е. они образуют единственную коалицию, что и должно быть в условиях принципа Парето. Принцип Парето используется при выборе решений, оцениваемых по многим показателям.

Определение эффективных решений

Как уже отмечалось, выбор решений производится последовательными фазами. Вначале из исходного множества решений определяется подмножество допустимых решений, удовлетворяющих сформулированным ограничениям. Затем из множества допустимых решений определяется подмножество эффективных решений и, наконец, из этого подмножества выбирается единственное решение. Рассмотрим более подробно определение множества эффективных решений.

О пределение множества эффективных решений основывается на использовании принципа Парето. Пусть имеется множество допустимых решений Y_Д = (Y₁, Y₂, ..., Y_m) и групповое ЛПР, включающее членов. Каждый член группового ЛПР оценивает предпочтения решений в виде значения функции предпочтения f_s(Y_i), где s – номер члена группового ЛПР, Y_i – i-тое решение из множества допустимых решений. В соответствии с принципом Парето одно решение предпочитается другому, если вектор, составленный из функций предпочтения членов группового ЛПР для одного решения, не хуже, чем тот же вектор предпочтения для другого решения. Следовательно, Y_i Y_j, если

(66)

Записанное соотношение является векторным отношением «не хуже» т.е. векторным квазипорядком. Выполнение этого векторного отношения означает, что все члены группы оценили решение Y_i не хуже решения Y_j, по крайней мере, один член группового ЛПР высказался за строгое предпочтение решения Y_i по сравнении с решением Y_j. формально это условие можно записать в виде неравенств:

(s  k, s, k = 1, 2, ..., d) (67)

Множество эффективных решений определяется путем сравнения всех решений по предпочтениям на основе соотношения (67). Те решения, для которых выполняются эти соотношения, образуют множество эффективных решений, часто их называют множеством Парето или множеством недоминируемых решений. Слово недоминируемых непосредственно вытекает из условий (67), поскольку не существует лучших (доминирующих) решений, чем множество эффективных.

Множество эффективных решений обладает следующими свойствами:

1. Любые два эффективных решения являются недоминирующими по отношению друг к другу.

2. Для любого решения, не принадлежащему множеству эффективных решений, всегда найдется, по крайней мере, одно эффективное решение, которое его доминирует.

Перечисленные свойства множества эффективных решений приводят к следствию: оптимальное решение находится среди эффективных решений. Таким образом, определив множество эффективных решений, достаточно в дальнейшем рассматривать только это множество для нахождения оптимального решения, отбросив все решения, не являющиеся эффективными.

Следует подчеркнуть, что не все эффективные решения являются строго лучшими, чем неэффективные решения. Какое-либо эффективное решение может быть эквивалентным некоторому неэффективному решению. Однако, в соответствия со свойством (67) во множестве эффективных решений найдется обязательно хотя бы одно лучшее решение для любого неэффективного решения. Это утверждение будет далее проиллюстрировано в примере.

Определение множества эффективных решений позволяет в большинстве случаев сузить множество допустимых решений, т.е. в множестве эффективных решений будет меньше количество решений, что облегчает дальнейшую задачу определения единственного оптимального решения. Количественно степень этого сужения оценивается коэффициентом определенности выбора, вычисляемого по формуле

(68)

где m_д – количество решений в допустимом множестве (мощность множества допустимых решений), m₀ – количество эффективных решений (мощность множества эффективных решений). Если множество эффективных решений содержит только одно решение, т.е. m₀ = 1, то коэффициент определенности выбора равен единице. Действительно, единственное эффективное решение является оптимальным решением, поэтому определенность выбора полная. Если в множестве эффективных решений содержится столько же решений, как и в исходном допустимом множестве, т.е. m₀ = m_Д, то из формулы (68) следует  = 0 – определенность выбора нулевая, поскольку никакого сужения множества допустимых решений не произошло. В промежуточных случаях, когда 1 < m₀ < m_Д, коэффициент определенности выбора изменяется в интервале 0 <  < 1. Коэффициент определенности выбора является характеристикой полезности выделения множества эффективных решений. При  = 1 эта полезность идеальная – найдено сразу оптимальное решение. При  = 0 выделение эффективных решений ничего не дало о точки зрения выбора единственного решения.

Существует ряд методов определения множества эффективных решений. Среди этих методов можно отметить метод прямого перебора и метод линейных форм. Метод линейных форм позволяет уменьшить объем вычислений по сравнению с перебором. Метод прямого перебора заключается в непосредственном сравнении предпочтений всех членов группового ЛПР в соответствии с неравенствами (67). Метод прямого перебора применим при небольшом количестве решений и членов группового ЛПР. Если в множестве допустимых решений содержится m_д – решений и количество членов в групповом ЛПР равно d, то необходимо произвести m_Д (m_Д - 1) d/1 сравнений. Если, например m_Д = 10 и d = 8, то необходимо сравнить 360 чисел, что практически реализуемо только на ЭВМ.

Пример 6. Пусть имеется четыре допустимых решения Y₁, Y₂, Y₃, Y₄. В групповом ДПР икается два члена с функциями предпочтения f₁ и f₂. Оба ЛПР проранжировали решения следующим образом: Y₂  Y₃  Y₁  Y₄; Y₃  Y₁  Y₂  Y₄.

Удобно для наглядности представить все решения в системе координат на рис.41. По оси f₁ отложены предпочтения первого ЛПР, а по второй оси — предпочтения f₂ второго члена группового ЛПР. Каждое решение характеризуется двумя координатами, представляющими собой ранги, проставленные первым и вторым ЛПР.

Рис. 41. Представление решений в системе координат

Ранги по осям расположены так, что чем дальше от начала координат расположены решения, тем они предпочтительнее.

Используя неравенства (67), убеждаемся, что множество эффективных решений включает решения Y₂ и Y₃. Действительно, оба эти решения не доминируют друг друга, поскольку первый ЛПР предпочел Y₂  Y₃, а второй наоборот: Y₃  Y₂. Оба решения, т.е. (Y₃, Y₂) > (Y₁, Y₄). Решение Y₃ строго предпочтительнее решений Y₁ и Y₄, поскольку оба члена группового ЛПР дают решению Y₃ более высокий ранг, чем решениям Y₁ и Y₄. Решения Y₁ и Y₂ несравнимы между собой, так как первый ЛПР считает Y₂  Y₁, а второй наоборот: Y₁  Y₂. Решение Y₂ доминирует решению Y₄, т.е. Y₂ > Y₄ поскольку первый ЛПР считает Y₂  Y₄, а второй считает их эквивалентными Y₂  Y₄. Коэффициент определенности выбора в данном примере равен .

Задачи многокритериального выбора (векторной оптимизации) являются частными случаями задачи группового выбора. В этих задачах роль группового ЛПР выполняет совокупность независимых показателей решений. Пусть имеется множество допустимых решений Y_д= (Y₁, Y₂, ..., Y_m) и множество показателей y₁, y₂, ..., у_q. В качестве показателей могут использоваться, например, показатели степени достижения целей, стоимость, прибыль и другие технико-экономические характеристики решений. Для каждого i-го решения определяется вектор значений показателей (y_i1, y_i2, ..., y_iq). В соответствии с принципом Парето одно решение Y_i предпочтительнее другого решения Y_j, если выполняется векторное отношение «не хуже»

(y_i1, y_i2, ..., y_iq)  (y_j1, y_j2, ..., y_jq) (69)

Выполнение векторного отношения «не хуже» означает выполнение неравенства

y_ik  y_jk, y_il > y_jl, (k  l, k = 1, 2, ..., q) (70)

Значения у_ik есть предпочтение k-й характеристики i-го решения.

Изложенное показывает, что задача выбора одним ЛПР множества эффективных решений по многим показателям формально ни чем не отличается от задачи выбора эффективных решений по одному показателю множеством членов группового ЛПР. Просто роль членов ЛПР играют показатели решений.

Рассмотрим теперь общий случай, когда имеется групповой ЛПР, включающий d членов, и оценка множества решений производится по совокупности q показателей. В этом случае решение Y_i, предпочтительнее решения Y_j, если выполняются следующие неравенства:

,

(71)

где f_s(у_ik) – функция предпочтения s-го члена группового ЛПР, у_ik – значения k-го показателя для i-го решения.

Пример 7. Для иллюстрации определения множества эффективных решений при нескольких показателях рассмотрим следующую задачу выбора. Пусть сформулировано множество допустимых вариантов плана реконструкции предприятия, содержащее 6 решений (планов). Каждый план реконструкции оценивается по прибыли – у_i1 и величине капитальных вложений – y_i2, (в действительности план реконструкции оценивается большим числом технико-экономических показателей, и выбор только двух показателей связан с упрощением задачи с целью ее наглядности). Все решения отдельно по прибыли и по капвложениям проранжированы. Результаты ранжирования решений представлены в табл. 19.

Из таблицы следует, что по прибыли решения упорядочены следующим образом:

Y₁ > Y₃ > Y₂ > Y₅ > Y₄ > Y₆ (72)

Таблица 27

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6
yi1	1	3	2	5	4	6
yi2	2	4	1	6	3	5

По капитальным вложениям решения упорядочены по предпочтению следующим образом (вторая строка рангов в таблице):

Y₃ > Y₁ > Y₅ > Y₂ > Y₆ > Y₄ (73)

Представим каждое решение как точку на плоскости с осями координат, соответствующих прибыли и капвложениям (рис. 11).

Рис. 11. Представление решений на плоскости с осями координат

На осях координат отложены ранги таким образом, что по мере удаления от начала координат предпочтения увеличиваются, т.е. по оси у_i1 увеличивается прибыль, а по оси у_i2 уменьшаются капвложения. Покажем, что решения Y₁ и Y₃, составляют множество эффективных решений. Действительно, каждое из этих решений предпочтительнее других решений Y₂, Y₄, Y₅, Y₆ как по прибыли, так и по капвложениям одновременно. Сами эффективные решения Y₁, Y₃ между собой несравнимы, поскольку решение Y₁, предпочтительнее решения Y₃ по прибыли, но уступает ему по показателю капвложений. Поскольку эти два показателя "между собой не сравниваются и являются, следовательно, независимыми, то отдать какое-либо предпочтение одному из эффективных решений в рамках располагаемой информации нельзя.

Коэффициент определенности выбора в рассматриваемом примере, в соответствии с формулой (68), равен

у =(6-2)/(6-1) =4/5 =0,8

Для выбора единственного решения на реконструкцию достаточно рассматривать только эффективные решения Y₁ и Y₃. Если ЛПР может высказать предпочтения о сравнительной значимости прибыли и затрат на капвложения, то однозначно определится единственное решение: либо Y₁, либо Y₃.

Графическое представление на рис. 11 процедуры определения множества эффективных решений подсказывает общую схему расчетов. Если имеется мерный вектор характеристик решений, то рассматривается q-мерное пространство с осями координат по каждой характеристике. При условии разметки осей с увеличением предпочтительности при удалении от начала координат наилучшие решения, как точки в q-мерном пространстве будут расположены в «северо-восточном» углу, т.е. наиболее удалены от начала координат. Сравнением характеристик производится отбор решений, входящих во множество эффективных решений. Эта процедура легко реализуется на ЭВМ.

Рассмотренный пример иллюстрирует решение задачи многокритериального выбора. В данном случае каждое решение описывалось только двумя показателями (критериями). Технология построения множества эффективных решений для случая многих показателей (характеристик) решений аналогична.

Пример 8. Рассмотрим задачу сравнительной оценки деятельности предприятий. Такая задача систематически решается в отраслях и объединениях при подведении итогов производственно-экономической деятельности за определенный период времени (год, пятилетка). Пусть имеется n предприятий, деятельность которых оценивается m показателями. Имеются данные по значению всех показателей для каждого предприятия. Требуется упорядочить предприятия по множеству значений показателей. На основе этого упорядочения принимаются решения о поощрении их руководителей и сотрудников, проходится анализ причин недостатков в отстающих предприятиях.

Данную задачу можно интерпретировать как последовательное определение множества эффективных решений. Действительно, все предприятия можно рассматривать как множество допустимых решений, каждое из которых характеризуется вектором значений показателей. Определим множество эффективных решений, т.е. множество недоминирующих по всем показателям предприятий, и исключим их из списка. Затем для оставшегося множества решений (предприятий) вновь определим подмножество эффективных решений и опять исключим их из списка. Повторяя эту процедуру до тех пор, пока сужение множества решений до эффективного происходить не будет, т.е. последнее допустимое множество не будет совпадать с эффективным, мы получим полное упорядочение множества решений (предприятий).

Пусть имеется 17 предприятий, именуемых П₁, П₂, ..., П₁₇, деятельность которых оценивается по пяти показателям. Значения показателей по каждому предприятию приведены в табл. 28. Причем значения показателя даются в физических единицах, а затем переводятся в ранги. В таблице физические единицы (в рублях) приведены только для показателя производительности труда (первая колонка). Перевод значений показателей в ранги не вызывает каких-либо трудностей. Первый ранг приписывается наилучшему значению показателя, второй ранг – следующему после наилучшего и т.д. Необходимость перевода значений показателей в ранги определяется простотой дальнейшей обработки и не влияет на точность решения задачи, поскольку в конечном итоге требуется только упорядочение объектов, т.е. оценка объектов в рангах.

При условии, что все пять показателей независимы и равноценны, на ЭВМ было выполнено последовательное выделение множеств эффективных решений на основе условий (5). В результате построено следующее упорядочение предприятий

(П₁, П₃, П₅, П₁₀, П₁₆) (П₂, П₄, П₇, П₁₂, П₁₅)

(П₉, П₁₁, П₁₃, П₁₇) (П₈ > П₆ > П₁₄ ) (74)

При последовательном выделении множеств эффективных решений коэффициент определенности выбора составлял для первого подмножества, включавшего П₁, П₃, П₅, П₁₀, П₁₆ величину, равную

.

Для второго подмножества этот коэффициент равен

.

Для третьего подмножества имеем

.

Для четвертого подмножества коэффициент равен

.

Для пятого и шестого подмножества этот коэффициент также равен единице, поскольку множества эффективных радений на этих этапах включали только по одному предприятию. Упорядочение (74) дало разбиение всех предприятий по группам.

В рамках располагаемой информации дальнейшее уточнение мест, занимаемых предприятиями внутри групп, невозможно. Если использовать дополнительную информацию, об относительной важности показателей, то можно получить дальнейшее уточнение ранжирования предприятий. С практической точки зрения, например, важно определить какое предприятие является наилучшим. Методы определения единственного наилучшего решения рассматриваются в следующем параграфе.

Таблица 28

Показатели	А		Б		В		Г		Д
Предприятия	рубли	ранги	%	ранги	руб./ руб.	ранги	руб./ руб.	ранги	руб./ руб.	ранги
П1 П2 П3 П4 П5 П6 П7 П8 П9 П10 П11 П12 П13 П14 П15 П16 П17	10184 8252 7959 9141 22744 7612 6069 8569 8013 7896 10388 17847 4341 5116 6892 12030 6817	5 8 10 6 1 12 15 7 9 11 4 2 17 16 13 8 14		3 7 2 10 5 16 6 16 14 1 13 12 9 17 4 8 11		6 7 3 8 2 16 10 15 9 5 12 4 14 17 13 1 11		8 7 2 10 5 16 6 15 14 1 13 12 9 17 4 8 11		10 5 9 7 2 16 13 11 6 4 8 3 15 17 14 1 12

На таблице 23: А - Производительность труда (выработка одного работающего);

Б - Рентабельность по себестоимости (прибыль / затраты);

В - Рентабельность по фондам (прибыль / ср. стоимость основных фондов);

Г - Себестоимость (затраты на один рубль доходов);

Д - Фондоотдача.

Определение единственного решения

Определение единственного правильного решения является заключительным этапом процедуры выбора. В соответствии со свойствами множества эффективных решений, изложенных в предыдущем параграфе, единственное решение должно выбираться именно из этого множества. Любое выбранное решение из множества эффективных решений является недоминируемым, т.е. оно не хуже любого другого решения. В связи с этим, если нет возможности получить дополнительную информацию вследствие затрат времени и ресурсов, выбор любого решения из множества эффективных решений обеспечивает гарантированный результат, что это решение не хуже, чем любое другое решение. Этот вывод, полученный в теории принятия решений, дает основание ЛПР в условиях отсутствия новой информации волевым порядком выбирать любое решение из множества эффективных решений. Обоснованием для этого выбора является утверждение, что это решение не хуже других.

Определение единственного оптимального решения из множества эффективных решений, требует привлечения дополнительной информации. Действительно, вся исходная информация полностью использована для выделения мно­жества эффективных решений из допустимого множества. В качестве дополнительной информации целесообразно использовать:

1. Непосредственную ранжировку эффективности решений;

2. Уточнение предпочтения решений экспертами;

3. Информацию о свойствах функции группового предпочтения.

Проведение непосредственной ранжировки множества эффективных решений является наиболее простым способом определения оптимального решения. Однако ранжировка практически возможна, если имеется уверенность в том, что эксперты обладают необходимой компетентностью в различении эффективных решений и, кроме того, если количество эффективных решений невелико (10-15). При невыполнении перечисленных условий проведение ранжировки практически даст тот же эффект, что и выбор произвольного решения из множества эффективных. Другими словами эта ранжировка позволяет определить единственное решение, в отношении которого можно гарантировать только то, что оно не хуже любого другого.

Уточнение предпочтения решений экспертами преследует цель возможного сужения области эффективных решений. Для этого необходимо провести анализ: какие предпочтения привели к образованию множества эффективных решений; какое из эффективных решений по расположению среди других решений является наиболее подходящим кандидатом на наилучшее решение; какие решения являются наиболее вероятными для исключения и т.п. Такой анализ требует тщательного изучения структуры, взаимного положения решений как точек в пространстве предпочтений члена группового ЛПР или при векторной оптимизации в пространстве показателей (характеристик) решений. Результаты исследования множества эффективных решений позволяют целенаправленно сформулировать задачи для уточнения, предпочтения решений. Практически уточнение предпочтения решений приводит лишь к некоторому сужению множества эффективных решений. Ожидать получение единственного оптимального решения на основе уточнения предпочтений маловероятно.

Информация о свойствах функции группового предпочтения может включать свойства выпуклости, линейности или другие характерные особенности, отражавшие зависимость от индивидуальных предпочтений. Получение такой информации требует определения той или иной формы компромисса между членами группового ЛПР или между компонентами вектора характеристик решений в случае векторной оптимизации. Наиболее эффективным, о точки зрения отыскания оптимального решения, является предположение о линейности функции группового предпочтения. Как и в §8 будем использовать коэффициенты решений _is, где i – номер решения, s – номер члена группового ЛПР (в случае векторной оптимизации s – номер показателя качества решения). Используя коэффициенты решений, представим линейную функцию группового предпочтения в виде

(75)

где k_s – коэффициенты весов членов группового ЛПР (в случае векторной оптимизации k_s – коэффициенты весов показателей); d – количество членов в групповом ЛПР (количество показателей).

При изменении предпочтения решений в количественных шкалах коэффициенты весов равны

(76)

поэтому линейная функция группового предпочтения может быть записана в виде

(77)

При измерении предпочтения решений в порядковой шкале коэффициент весов определяется формулами (50), (51), (52).

Если коэффициенты весов k_s известны, то определение оптимального решения производится максимализацией суммы (1) по всем эффективным решениям

(78)

Номер i есть номер решения: именно по этому индексу выполняется максимум.

Если коэффициенты весов k_s неизвестны, то их определение может быт выполнено различными способами. При уверенности и достаточной точности коэффициенты можно определить экспертным путем.

Другие способы определения коэффициентов решений основаны на различных предположениях о компетентности («весе») членов группового ЛПР или важности показателей в случае векторной оптимизации.