Как же подготовить учащихся к изучению геометрии по учебникам н. С. Подходовой[15; c.1-135],[13; с.1-164]
В новой концепции образования приоритетными целями являются развивающие. Рассматривая развивающие возможности математики, в большей степени говорят о развитии логического мышления. Но этот предмет, а точнее его геометрическая составляющая, имеет широкие возможности для развития образных компонентов мышления. Работая в геометрическом пространстве, мы создаем и оперируем образами, в которых выделены формы, расположение в пространстве, взаимное положение элементов, т.е. пространственными образами.
За эту деятельность отвечает пространственное мышление. И хотя цель его формирования в процессе обучения в школе ставится, недостаточный уровень развития пространственного мышления является препятствием усвоения геометрии. Причины: 1) в методике обучения математике не описываются пути создания условий, способствующих развитию умений создавать и оперировать пространственные образы, способы проверки их сформированности; 2) постановка развивающих целей требует учета наиболее благоприятных (сенситивных) для развития определенных компонентов мышления периодов. Деятельность образного мышления является приоритетной в возрасте 6 – 11 лет, поэтому пространственное мышление как разновидность образного необходимо развивать уже в начальной школе, а не в 15 лет, когда ученик говорит, что не может представить.
Образы являются личностными образованиями, и поэтому работа по их развитию требует направленности на ребенка при построении учебного предмета, учета его опыта. Этого требуют и особенности изучения геометрического пространства.
Разработка содержания и условия для развития пространственного мышления средствами геометрии требует осознания особенностей геометрического пространства от реального и перцептивного. Непонимание как учителями, так и учащимися этих особенностей часто является основой трудностей изучения геометрии. Эти особенности связаны с идеальностью геометрических фигур критерием выбора материальных моделей фигур в окружающем ребенка пространстве, спецификой оперирования в геометрическом пространстве.
В перцептивном пространстве действует ориентация «по схеме тела» (справа от себя, впереди себя…), в реальном «работают» также объективные «земные» ориентиры (горизонтальность, к югу…), а в геометрическом пространстве эти ориентиры отсутствуют, система отсчета постоянно меняется. Связанно с этим отличием умение переходить от точки отсчета, сосредоточенной в наблюдателе, к пространству с постоянно меняющейся точкой отсчета. С.Л. Рубинштейн называл «стержнем общего понимания пространства». Его формирование требует подготовительной работы. Но в начальной школе при изучении геометрического материала практикуется рисование на клетчатой бумаге, а значит по горизонтали и вертикали. Выполняя задание нарисовать линию, ученик чаще всего изображает прямую горизонтально или вертикально. И проводя с помощью угольника перпендикуляр к наклонной прямой, ученик часто располагает горизонтально или вертикально. Это результат практической деятельности, жизненного опыта, где превалируют горизонтальность и вертикальность. Поэтому желательно на уроках геометрии избегать изображать линии горизонтально и вертикально. Тем более, что согласно естественно-научным взглядом, любая прямая линия, расположенная на горизонтальной поверхности, является горизонтальной. Значит, в тетради, лежащей на горизонтальной поверхности стола, нельзя провести наклонные и вертикальные прямые линии. При использовании этих понятий необходимо договориться с учениками, что, работая в тетради, мы считаем ее расположенной как классная доска, что мы и делаем в курсе геометрии для I – IV классов, построенном с учетом специфики геометрического пространства. Приоритетной развивающей целью курса является развитие пространственного мышления. Курс разрабатывался в рамках личностно-ориентированной концепции на основе целостного подхода, который реализуется через базовые методические принципы (будут рассмотрены позже): приоритета целостности; открытой многозначности; фузионизма (плоские и объемные фигуры изучаются вместе, отношения рассматриваются сразу в пространстве); учета опыта ребенка (познает пространство ребенок с рождения). Опыт включает и эмоциональную составляющую, что учитывается в фабулах задач курса (личностные знания всегда эмоциональны). Последовательность учебного материала определяется закономерностями развития пространственного мышления и спецификой геометрического пространства. В деятельности пространственного мышления выделяют две ступени: 1) создание первичных (создаваемых на наглядной основе) и вторичных пространственных образов или представлений (создаваемых в отсутствии наглядной основы); 2) оперирование пространственного образа. Рассматривая первую ступень, необходимо учитывать, что в онтогенезе личности пространственных представлений развиваются от топологических пространственных представлений к метрическим через проективные. В школе же на уроках математики измерения с помощью линейки начинаются уже с 1 класса, хотя эта деятельность вряд ли является значимой для учеников.
Изучение геометрического материала может быть организовано через реализацию следующих этапов[12; c.10-13]:
Развитие топологических пространственных представлений, характеризующихся умением выделять объект на фоне, менять объект и фон местами, видеть внеположенность объектов, расположение относительно друг друга, выделять контур предмета, выделять области на основе интуитивных представлений о непрерывности и связности, различать внутреннюю и внешнюю области, границу фигуры.
Создание пространственных представлений, обладающих свойством полноты относительно взаимного положения объектов, через развитие образной памяти.
Развитие умения менять точку отсчета и пространственных проективных представлений (направленность на форму объектов, без внимания к метрике).
Выход в пространство с постоянно меняющейся точкой отсчета (геометрическое пространство).
Формирование представлений о конкретных геометрических фигурах и о геометрических отношениях на основе общей схемы формирования представлений о геометрическом объекте.
Уточнение пространственных образов в плане метрики.
Знакомство с элементами логики.
Формирование системы представлений – предпонятий на основе умения отличать род и видовые отличия геометрической фигуры.
Знакомство со структурными единицами пространственного мышления – преобразования (в частности, движениями).
Первый этап является базовым. Топология – общее свойство пространства. Топологические свойства обладают большей функциональностью, чем метрические.
Для корректировки топологических пространственных представлений учащимся может быть представлена следующая последовательность задач.
Выводы, к которым учащиеся подходят, выполняя задания:
Фон – это то, на чем что-либо выделяется.
Объект – предмет или явление, на которое направлена какая-нибудь деятельность, например, как в рассматриваемых нами условиях внимание.
Задача 1.
Путешествуя на воздушном шаре, коротышки из Цветочного города увидели внизу озеро (Рис.1). Авоська сбросил два мешка с песком, чтобы шар не опустился. Определи, в воду или на сушу упали мешки (обозначены цифрами 1 и 2).
Рисунок озера может рассматриваться как изображение геометрической фигуры. Вывод: из геометрической фигуры можно выделить внутреннюю область (на рисунке это – само озеро) и границу фигуры (стык берега и озера), которая отделяет внутреннюю область от внешней (берег).
Первые образы объектов, с которыми встречается ребенок, в том числе и образы фигур, согласно психологии, хорошо запоминаются. Поэтому намеренно озеро как образ фигуры имеет причудливые очертания, чтобы учащиеся не считали, как это часто встречается, что фигуры имеют только вполне определенные формы (выпуклого многоугольника).
Задача 2.
Учитель на полу (или ученик на столе) выкладывает замкнутый лабиринт из длинной веревки с завязанными концами так, чтобы она не пересекала и не касалась непрерывную линию – стену лабиринта, которая не пересекает и не касается самой себя (по всему лабиринту можно пройти), конец и начало ее совпадают /замкнутый/.
Согласно принципу фузионизма аналогичные задания предлагаются и в пространстве.
Задача 3.
Представь пустую закрытую комнату. Сколько областей можно выделить в этой комнате, если: а) в ней летает один воздушный шарик; б) летает один шарик и лопнул; в) в ней летают два воздушных шарика; г) летают два шарика, один из них находится внутри другого; д) летали два шарика, один из них лопнул. Зависит ли ответ от того, какой шарик лопнул?
Ответы: а) 2, б) 1, в) 3, г) 3, д) 2.
Задача 4.
Мороз «нацарапал» на оконных стеклах линии (Рис.2). Закрась разными цветами области. Запиши сколько областей в каждом окне.
Ответы: а) 2, б) 1, в) 2, г) 2, д) 2, е) 5
Многие задают вопрос: «Почему так трудно идет изучение геометрии в школе?»[11; с.54-58] Обычно такие причины связывают с курсом геометрии VII – XI классов. Но трудности усвоения – следствие традиционного обучения в начальных классах, причем они имеют и предметные, и психологические причины.
Рассмотрим сначала некоторые причины предметного характера. Предметные знания нужны ребенку в первую очередь для познания реального пространства, а обеспечиваются они на начальных этапах обучения через освоение перцептивного пространства. Однако геометрическое пространство, изучаемое в школе, является идеальным. Это означает прежде всего, что геометрические фигуры являются идеальными объектами.
В этом кроется глубокое противоречие: изучение идеальных геометрических объектов предполагает предъявление реальных предметов в качестве моделей этих объектов. В процессе обучения модели часто предъявляются произвольно. Если модель выбрана неудачно, то учащиеся начинают относить к существенным свойствам фигуры те, которыми обладает модель, но не сама геометрическая фигура.
Одними из первых геометрических фигур, с которыми знакомятся учащиеся I – IV классов, являются точка и прямая. Но их изучение требует развитого умения абстрагировать, что в начале знакомства с геометрией ведет к трудностям. Детям не скажешь, что точка – неопределяемое понятие. Им необходимо объяснить, показать, чем геометрическая точка отличается от уже знакомых им точек в рисовании, предъявить модель точки.
Выбор материальной модели геометрического объекта зависит от контекста ситуации, в которой эта модель предъявляется. В разных реальных ситуациях один и тот же предмет мы можем рассматривать как различные геометрические объекты.
Ориентация в геометрическом пространстве требует постоянной смены точки отсчета. Учащиеся должны осознать особенности геометрического пространства, а значит, целью обучения геометрии должно стать развитие у учащихся умения анализировать собственное восприятие пространства реального.
Обратимся теперь к причинам психологического характера.
Мир школьной геометрии требует постоянного обращения к образам, особенно на первых этапах знакомства с ним. Образная деятельность сложна, трудно поддается традиционному обучению в силу таких качеств образов, как субъективность, многозначность, целостность восприятия. Кроме того, успех в обучении образной деятельности сильно зависит от возраста обучаемых.
Конечно, можно многому научить ребенка и в тот период, который определят для этого взрослые люди. В психологии описаны наиболее чувствительные к развитию определенных психологических функций сенситивные периоды, которые необходимо учитывать при обучении.
Создание условий для деятельности учащихся в возрасте от 6 – 7 до 12 лет, направленной на оперирование образами, в которых выделены формы, расположение в пространстве, взаимное положение элементов, подготовит учащихся к работе в геометрическом пространстве. Поэтому развивающей целью обучения геометрии в I – VI классах является развитие пространственного мышления.
Обучающая цель – формирование самими учащимися системы обобщенных представлений, так называемых предпонятий, а не формирование понятий, как принято в традиционном обучении. С методической точки зрения это соответствует созданию объемов понятий, которые будут изучаться в старших классах.
Внимание к психологической основе реализации развивающих целей позволит: а) проследить продвижение ученика в плане развития пространственного мышления; б) выделить общую линию развертывания учебного геометрического материала, который в действующих программах представляет преимущественно отдельные сведения из разных тем геометрии.
Материал, излагаемый в учебниках по геометрии, определяется логикой науки геометрии, хотя само понятие «пространственное мышление» и процесс его развития относятся к области психологии. Например, пространственные представления развиваются в следующей последовательности: от топологических к метрическим через проективные. В школе же этот процесс имеет обратную последовательность. Но топологические свойства обладают большей фундаментальностью, чем метрические. В топологических структурах отражаются наши представления об окрестности, пределе, непрерывности. А в учебниках отсутствуют задания, направленные на создание у учащихся интуитивных представлений о непрерывности, об области как части пространства или плоскости, обладающей свойством непрерывности и связности. Но именно эти представления и должны работать в школьной геометрии в дальнейшем.
Внимание к рассмотренным аспектам психологического и предметного характера позволяет определить содержание геометрического материала в I – VI классах, решить проблему преемственности между начальной школой и средней.