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Кузбасский государственный технический университет

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Chapter 6

Techniques of Integration

6.1Integration by formulae

There exist many books that contain extensive lists of integration, di erentiation and other mathematical formulae. For our purpose we will use the list given below.

1.	Z	af(u)du = a f(u)du
		n	!			n Z
2.		X	aifi(u) du =			X	aifi(u)du

		i=1				i=1
	Z	undu =		un+1
3.					+ C, n 6= −1
				n + 1

4.u−1du = ln |u| + C

5. eaudu = e6aau + C

Zabu

6.abudu = b ln a + C, a > 0, a 6= 1

7. ln |u|du = u ln |u| − u + C

267

268

CHAPTER 6. TECHNIQUES OF INTEGRATION

−

cos(au)

sin(au)du =

+ C

sin(au)

cos(au)du =

+ C

sec(au)

10.

tan(au)du =

ln |

+ C

sin(au)

11.

cot(au)du =

ln |

+ C

12.

sec(au)du =

ln | sec(au) + tan(au)|

+ C

13.

csc(au)du =

ln | csc(au) − cot(au)|

+ C

cosh(au)

14.

sinh(au)du =

+ C

sinh(au)

15.

cosh(au)du =

+ C

cosh(au)

16.

tanh(au)du =

ln |

+ C

sinh(au)

17.

coth(au)du =

ln |

+ C

arctan(eau) + C

18.

sech (au)du =

19.

csch (au) du =

arctanh (eau) + C

20.

sin2(au)du = 2

− sin(

+ C

au) cos(au)

21.

cos2(au)du = 2

+ sin(

+ C

au) cos(au)

22.

tan2(au)du =

− u + C

tan(au)

6.1. INTEGRATION BY FORMULAE

269

23.

cot2(au)du = −

cot(au)

− u + C

sec2(au)du =

tan(au)

24.

+ C

25.

csc2(au)du = −

cot(au)

+ C

26.

sinh2(au)du = −2

+ C

sinh(2au)

cosh2(au)du = 2

27.

+ C

sinh(2au)

28.

tanh2(au)du = u −

tanh(au)

+ C

29.

coth2(au)du = u −

coth(au)

+ C

sech 2(au)du =

tanh(au)

30.

+ C

31.

csch 2(au)du = −

+ C

coth(au)

32.

sec(au) tan(au)du =

sec(au)

+ C

csc(au) cot(au)du = −

csc(au)

33.

+ C

34.

sech (au) tanh(au)du = −

sech (au)

+ C

35.

csch (au) coth(au)du = −

csch (au)

+ C

arctan

+ C

36.

a2 + u2

37.

a2 − u2

= a arctanh

a + C = 2a ln a − u

+ C

a + u

270

CHAPTER 6. TECHNIQUES OF INTEGRATION

+ C

38.

√

= arcsinh

a2 + u2

39.

√a2 − u2

= arcsin a

+ C, |a| > |u|

40.

√u2 − a2

= arccosh a

+ C, |u| > |a|

41.

u√u2 − a2

= a arcsec a + C, |u| > |a|

42.

u√a2 − u2

= −a arcsech a + C, |a| > |u|

43.

u√

= −

arccsch

+ C

a2 + u2

44.

√a2 + u2

= √a2 + u2 + C

u du

45.

a2 − u2 = − ln √a2 − u2 + C, |a| > |u|

u du

46.

√a2 + u2

= √a2 + u2 + C

u du

= −√a2 − u2 + C, |a| > |u|

47.

√a2 − u2

u du

48.

√u2 − a2

= √u2 − a2 + C, |u| > |a|

u du

√1 − a2u2 + C, |a||u| < 1

49.

arcsin(au)du = u arcsin(au) +

√1 − a2u2 + C, |a||u| < 1

50.

arccos(au)du = u arccos(au) −

51.arctan(au)du = u arctan(au) − 21a ln(1 + a2u2) + C

52. arccot (au)du = uarccot (au) + 21a ln(1 + a2u2) + C

6.1. INTEGRATION BY FORMULAE											271
	Z	1
53.		1	ln		au +	√a2u2 − 1					+ C, au > 1
53.		arcsec (au)du = uarcsec (au) − a	ln		au +	√a2u2 − 1					+ C, au > 1

	Z	1
54.		1	ln				2		2		+ C, au > 1
54.		arccsc (au)du = uarccsc (au) + a	ln		au +	√a u				− 1	+ C, au > 1

	Z		1
			1			2	2
55.		arcsinh (au)du = uarcsinh (au) −	a		√1 + a u			+ C
	Z		1
			1		√−1 + a2u2 + C, \|a\|\|u\| > 1
56.		arccosh (au)du = uarccosh (au) −
56.		arccosh (au)du = uarccosh (au) −		a

57.arctanh (au)du = uarctanh (au) + 21a ln(−1 + a2u2) + C, |a||u| =6 1

58.arccoth (au)du = uarccoth (au) + 21a ln(−1 + a2u2) + C, |a||u| =6 1

59. arcsech (au)du = uarcsech (au) + a1 arcsin(au) + C, |a||u| < 1

au +

√a2u2 + 1 + C

60.

arccsch (au)du = uarccsch (au) +

a2 + b2

61.

eau sin(bu)du =

e [a sin(bu)

− b cos(bu)]

+ C

eau

bu) + b sin(bu)]

62.

eau cos(bu)du =

[

cos(

+ C

a2 + b2

63.

sinn(u)du =

−1

sinn−1(u) cos(u)

n − 1

sinn−2(u)du

64.

cosn(u)du =

cosn−1

(u) sin(u)

−

cosn−2(u)du

65.

tann(u)du =

tann−1(u)

− Z

tann−2(u)du

n − 1

66.

cotn(u)du = −

cotn−1(u)

− Z

cotn−2(u)du

n − 1

67.

secn(u)du = n

secn−2(u) tan(u)

+ n −

secn−2(u)du

−

272

cscn(u)du = n−

CHAPTER 6. TECHNIQUES OF INTEGRATION

68.

cscn−2(u) cot(u) + n

−

Z cscn−2(u)du

−

2(m − n)

−

2(m + n)

69.

sin(mu)sin(nu)du =

sin[(m − n)u]

sin[(m + n)u]

+ C, m2

= n2

2(m − n)

2(m + n)

70.

cos(mu) cos(nu)du =

sin[(m − n)u]

sin[(m + n)u]

+ C, m2

= n2

2(m − n)

−

2(m + n)

71.

sin(mu) cos(nu)du =

cos[(m − n)u]

cos[(m + n)u]

+ C, m2

= n2

Exercises 6.1

1.Deﬁne the statement that g(x) is an antiderivative of f(x) on the closed interval [a, b]

2.Prove that if g(x) and h(x) are any two antiderivatives of f(x) on [a, b], then there exists some constant C such that g(x) = ln(x) + C for all x on [a, b].

In problems 3–30, evaluate each of the indeﬁnite integrals.

x5dx

x−3/5dx

Z 3x2/3dx

Z t2√t dt

√

t−1/2 + t3/2 dt

10.

Z (1 + x2)2dx

11.

t2(1 + t)2dt

Z (1 + t2)(1 − t2)dt

Z (2 sin t + 3 cos t)dt

12.

13.

+ sin t

dt 14.

t1/2

15.

3 sec2 t dt

16.

2 csc2 x dx

17.

4 sec t tan t dt

18.

2 csc t cot t dt

19.

sec t(sec t + tan t)dt

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