3.7.2. Теорема о сложении скоростей

Пусть тело А совершает свободное движение. Тогда переносное движение является сложным, представляю-щим собой совокупность поступательного движения подвижной системы координат вместе с точкой О (полюсом) и сферического движения вокруг этого полюса с угловой скоростью ω_е и угловым ускорением ε_е вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс О.

Абсолютную скорость точки М можно определить, дифференцируя уравнение (3.51) по времени t:

. (3.52)

Так как вектор (рис. 3.40) определен в подвижной системе координат, а - единичные векторы, посто-янные по модулю и вращающиеся вокруг мгновенной оси то, воспользовавшись известной из векторной алгебры формулой, получим:

, (3.53)

где: - угловая скорость подвижной системы координат,

- .

Следовательно, - является относительной скоростью,

Обозначив в (3.52) через скорость полюса О и подставив в него выражение (3.53), получим:

. (3.54)

Для определения переносной скорости положим в (3.54) , получим

. (3.55)

Из (3.55) следует, что переносная скорость точки М состоит из скорости полюса О и вращательной скорос-ти точки вокруг мгновенной оси вращения.

На этом основании формула (3.54) принимает вид

. (3.56)

Таким образом, мы доказали теорему о сложении скоростей: абсолютная скорость точки в сложном движении равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Эту теорему называют правилом параллелограмма или треугольника скоростей. Следовательно, абсолютная скорость точки определяется диагональю параллело-грамма, построенного на переносной скорости и относительной скорости , ее модуль можно вычислить по формуле:

. (3.57)

3.7.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Для определения абсолютного ускорения в случае непоступательного переносного движения воспользуемся выражением (3.54) абсолютной скорости в этом движении и продифференцируем его по времени t:

, (3.58)

где: - абсолютное ускорение точки,

- ускорение полюса О,

= ,

,

- относительное ускорение точки.

Тогда, подставив эти выражения в уравнение (3.58) и приводя в нем подобные члены, получим:

,

где - переносное ускорение точки, связанной с подвижной системой отсчета и сов-падающей в данный момент с движущейся точкой М. В рассматриваемом случае такой точкой является точка М твердого тела. Ускорение этой точки состоит из ускоре-ния полюса , вращательного (касательного) ускорения и осестремительного (нормального) ускоре-ния .

(3.59).

Здесь - поворотное ускорение точки (ускорение Кориолиса)

Таким образом, установили, что

. (3.60)

Это равенство выражает теорему Кориолиса (1792-1843) о сложении ускорений в случае непоступательного переносного движения. Теорема формулируется так:

В случае непоступательного переносного движе-ния абсолютное ускорение точки в ее сложном движении равно геометрической сумме переносного, относительного и поворотного ускорений.

Таким образом, абсолютное ускорение определяется замыкающей стороной многоугольника ускорений.

В случае поступательного переносного движения, когда ω_е = 0 и ε_е = 0, скорости и ускорения всех точек, неизменно связанных с подвижной системой отсчета, в каждый момент времени геометрически равны. Поэтому переносное ускорение точки М равно ускорению полюса, то есть , а так как , то формула (3.63) принимает вид

. (3.61)

Полученный результат является следствием теоремы Кориолиса и формулируется так:

В случае поступательного переносного движения абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме ее переносного и относительного ускорений.

А модуль ускорения можно вычислить по формуле:

. (3.62)

Относительное ускорение расположено в соприка-сающейся плоскости траектории относительного движе-ния, а переносное ускорение - в плоскости, которая параллельна соприкасающейся плоскости траектории полюса О.