Координати точки м і орт не залежать від часу; орти , є функціями часу. Отже,

. (2.49)

Визначимо похідні і .

Вектор можна розглядати як швидкість точки , що викреслює годограф вектора . Модуль цієї швидкості згідно (2.44)

і напрямлений цей вектор по дотичній до кола радіуса , тобто перпендикулярно до осі і паралельно осі (рис. 2.18).

Згідно з цим дістанемо

.

Якщо кутова швидкість додатна, то швидкість збігається з ортом , якщо кутова швидкість від’ємна, швидкість точки напрямлена в бік, протилежний орту .

Аналогічно знайдемо

.

Згідно з (2.49) швидкість точки

. (2.50)

З курсу векторної алгебри відомі співвідношення

; ; . (2.51)

Підставивши (2.51) в (2.50), дістанемо

.

Винесемо за дужки

. (2.52)

Вектор називають вектором кутової швидкості:

. (2.53)

Згідно з (2.53),

вектор напрямлений уздовж осі обертання в той бік, звідки обертальний рух видно проти ходу годинникової стрілки. Точка прикладання на осі обертання довільна. Отже, є ковзним вектором.

Тоді (2.52) набуває вигляду

. (2.54)

Цю формулу називають формулою Ейлера. У проекціях на декартові осі координат

; ; .

Поняття вектора кутової швидкості і формули Ейлера дістали, розглядаючи найпростіший обертальний рух тіла – обертання навколо нерухомої осі. Здобуті висновки буде поширено на більш загальні випадки руху твердого тіла.

Розглянемо вектор кутового прискорення.

Кутове прискорення – це вектор, що характеризує зміну вектора кутової швидкості в часі.

Тому

. (2.55)

Очевидно, вектор напрямлений по дотичній до годографа вектора кутової швидкості. У розглянутому випадку годографом вектора є пряма, що збігається з віссю обертання. Отже,

при обертанні тіла навколо нерухомої осі вектор кутового прискорення напрямлений вздовж осі обертання.

Якщо обертання тіла прискорене, то напрями векторів і збігаються, якщо сповільнене – протилежні.

2.2.5. Рух вільного твердого тіла.

Розподіл швидкостей і прискорень точок

у вільному твердому тілі

Основна ознака абсолютно твердого тіла – незмінність відстаней між довільними точками такого тіла. Звідси випливає властивість збереження кута між двома довільними прямими, проведеними в абсолютно твердому тілі.

Як буде показано далі, цих властивостей досить для визначення основного закону розподілу лінійних швидкостей і прискорень у вільному твердому тілі.

Розглянемо точку вільного твердого тіла довільної форми (рис. 2.19).

З тілом А незмінно зв’язана система координат . Точка нерухома. Точку О назвемо полюсом. З рис. 2.19 видно, що радіус-вектор точки М:

. (2.56)

На підставі (2.56) знайдемо швидкість точки М:

. (2.57)

Рисунок 2.19

Необхідно знайти похідні . Для цього скористаємося згаданими властивостями абсолютно твердого тіла. Розглянемо дві системи рівностей

; (2.58)

. (2.59)

Ці рівняння означають збереження довжин ортів і кутів між ними.

Диференціюючи рівності (2.58) за часом, дістанемо

Отримані рівності – умови ортогональності векторів відповідно та . Тому можна записати

. (2.60)

Тут – довільні вектори.

З (2.59) після диференціювання їх за часом дістанемо

. (2.61)

Підставляючи (2.60) в (2.61), маємо

,

звідки на підставі властивостей змішаного добутку векторів

,

або

. (2.62)

Вектор . У загальному випадку руху вільного твердого тіла вектор не буде перпендикулярним до орту . Отже, рівність (2.62) виконується, якщо або .

Аналогічно .

Отже,

,

а рівності (2.60) мають вигляд:

. (2.63)

Рівність (2.57), що визначає швидкість точки М на підставі (2.63), набуває вигляду

,

або

. (2.64)

У виразі (2.64) фізичний зміст вектора не визначено. Його можна визначити, розглядаючи окремі випадки руху тіла.

Наприклад, якщо вісь обертання нерухома і полюс знаходиться на цій осі, то і , де – вектор кутової швидкості, напрямлений вздовж осі.

Рівність (2.64) визначає закон розподілу швидкостей у вільному твердому тілі.

Швидкість довільної точки вільного твердого тіла дорівнює векторній сумі швидкості полюса і швидкості обертального руху точки навколо полюса.

Диференціюючи (2.64) за часом, дістанемо закон розподілу прискорень:

, (2.65)

або

,

де .

Тут .

Отже,

прискорення довільної точки вільного твердого тіла дорівнює векторній сумі прискорення полюса і прискорення обертального руху точки навколо полюса.

На підставі (2.64) і (2.65) можна зробити висновок:

рух вільного тіла можна розкласти на два рухи: поступальний, що визначається рухом довільної фіксованої точки тіла, яку називають полюсом, і обертальний рух навколо осі, що проходить через полюс. Цю вісь називають миттєвою віссю обертання, а – миттєвою кутовою швидкістю.

З рівності (2.64), як наслідок, випливає важлива теорема: проекції швидкостей двох точок тіла на пряму, що проходить через ці точки, рівні між собою.



Рисунок 2.20

Введемо орт вектора у вигляді відношення (рис. 2.20). Помножимо обидві частини рівності (2.64) скалярно на , тобто знайдемо проекцію цієї рівності на . Другий доданок у правій частині (2.64) перпендикулярний до орта , оскільки це швидкість обертального руху точки М навколо полюса О. Тому

.  (2.66)