Приклади

Приклад 2.1. Рівнозмінний рух точки.

Рух точки називають рівнозмінним, якщо її дотичне прискорення стале ( ).

Знайдемо швидкість точки і закон її руху по траєкторії.

На підставі (2.34)

,

звідки .

За формулою (2.21)

,

звідки після інтегрування маємо

,

де і – сталі інтегрування, що знаходяться з початкових умов.

У даному випадку початковими умовами є початкова швидкість і початкова дугова координата. Нехай

.

Дістанемо:

; (2.36)

. (2.37)

Приклад 2.2. Рух точки відбувається згідно з рівняннями

( – в метрах, – в секундах).

Визначити:

— швидкість точки;

— закон руху точки по траєкторії;

— годограф швидкості;

— прискорення точки;

— радіус кривини траєкторії точки.

Розв’язання.

Виберемо систему координат, як показано на рис. 2.11. – початкове положення точки на траєкторії.

Складові швидкості точки дорівнюють:

.

Модуль швидкості

.

Рисунок 2.11

Траєкторією точки є гвинтова лінія. Напрям швидкості, тобто напрям дотичної до гвинтової лінії (рис. 2.11), визначаємо за формулами

.

Годограф швидкості знаходимо на підставі формул

.

Звідси – рівняння годографа швидкості (рис. 2.12).

Отже, годографом швидкості є коло радіуса з центром в точці на осі .

Знайдемо закон руху точки по траєкторії :

Рисунок 2.12

.

При , тобто .

.

Для визначення проекцій, модуля та напряму прискорення скористаємося формулами (2.25)-(2.27). Маємо:

;

.

Вектор прискорення лежить в горизонтальній площині і спрямований від точки М до осі (рис. 2.11).

Радіус кривини точки знаходимо на підставі (2.34). Нормальне прискорення визначаємо через повне і тангенціальне за формулами (2.34) і (2.35):

.

Оскільки а , то . Знаходимо

.

2.2. Кінематика абсолютно твердого тіла

2.2.1. Основні положення

Основне завдання кінематики твердого тіла – визначення закону руху і основних характеристик руху – швидкості та прискорення.

При вивченні руху твердого тіла розглядатимемо як характеристики руху всього тіла в цілому, так і характеристики руху окремих точок тіла.

Найпростішими рухами твердого тіла називають поступальний рух і обертальний рух навколо нерухомої осі. Далі покажемо, що будь-який рух можна розкласти на поступальний і обертальний навколо нерухомої осі.

2.2.2. Поступальний рух твердого тіла

Поступальним називають такий рух твердого тіла, при якому довільна пряма, проведена в тілі, рухається паралельно сама собі.

Для дослідження поступального руху твердого тіла доведемо теорему:

при поступальному русі твердого тіла траєкторії всіх його точок конгруентні і всі його точки рухається з однаковими швидкостями й прискореннями.

 Розглянемо в тілі дві довільні точки та і визначимо їхні рухи векторним способом:

; .

На підставі рис. 2.13 маємо:

. (2.38)

Функції і визначають векторним способом траєкторії точок та .

Вектор не змінюється за величиною і напрямом з часом. Отже, із (2.38) видно, що траєкторію точки можна дістати з траєкторії точки за допомогою паралельного переносу. Напрям і величину переносу визначає вектор .

Рисунок 2.13

Знайдемо похідну за часом від виразу (2.38)

.

Вектор , тому , тобто

. (2.39)

Диференціюючи (2.39) за часом , дістанемо

.  (2.40)

На підставі доведеної теореми можна стверджувати, що поступальний рух повністю визначається рухом однієї довільної точки тіла. Отже, вивчення поступального руху безпосередньо пов’язане з кінематикою точки.