2.4. Складний рух твердого тіла

Найпростішими рухами твердого тіла є, як було показано вище, поступальний і обертальний рух навколо нерухомої осі. Але абсолютно тверде тіло може одночасно брати участь у двох або кількох рухах: поступальних, обертальних навколо паралельних осей, чи осей, що перетинаються, поступальному і обертальному, тощо.

Основною задачею кінематики складного руху абсолютно твердого тіла є встановлення залежностей між основними кінематичними характеристиками рухів, що додаються, і визначення характеру результуючого руху твердого тіла.

Поняття про абсолютний, відносний і переносний рухи, розглянуті при вивченні складного руху матеріальної точки, розповсюдимо на випадок додавання рухів твердого тіла.

Обмежимось випадком додавання двох рухів, один із яких вважатимемо відносним, другий – переносним.

Визначимо абсолютну швидкість довільної точки тіла, що бере участь у двох рухах, і за отриманими результатами зробимо висновок про характер результуючого руху.

2.4.1. Додавання поступальних рухів тіла

Припустимо, що тіло рухається зі швидкістю відносно системи координат , яка у свою чергу теж поступально рухається зі швидкістю відносно умовно нерухомої системи координат (рис. 2.50).

Оскільки і відносні, і переносні швидкості всіх точок тіла однакові (рух поступальний), то абсолютну швидкість довільної точки визначимо за теоремою про додавання швидкостей:

. (2.115)

У нашому випадку , . Отже,

. (2.116)

Цілком очевидно, що абсолютний рух твердого тіла в цьому випадку є теж поступальним.

Рисунок 2.50

При додаванні довільної кількості поступальних рухів має місце формула

. (2.117)

2.4.2. Пара обертань

Тіло виконує рух, утворений двома обертаннями навколо двох паралельних осей, з рівними за модулем і протилежними за напрямом кутовими швидкостями (рис 2.51, а). Такі два обертання називають парою обертань ( ).

Визначимо абсолютну швидкість довільної точки тіла:

.

У даному випадку

, .

Отже,

,

.

а

б

Рисунок 2.51

Вектори і не залежать від положення точки . Отже, швидкості всіх точок тіла однакові. Цю властивість має тільки поступальний рух. Таким чином, пара обертань надає тілу поступального руху.

Векторний добуток

, або (2.118)

називають моментом пари обертань. Очевидно, момент пари обертань є вільним вектором. З цього випливає:

– сукупність пар обертань еквівалентна одній парі, тобто поступальному руху;

– довільний миттєво-поступальний рух можна розглядати як миттєву пару обертань.

Обчислимо модуль вектора (рис. 2.51, б):

.

Найкоротшу відстань між осями обертання і називають плечем пари обертань , тобто , або

. (2.119)

2.4.3. Додавання обертань тіла навколо паралельних осей

Припустимо, що тіло обертається з кутовою швидкістю (відносний рух) навколо осі системи координат , яка, в свою чергу, обертається з кутовою швидкістю (переносний рух) навколо осі системи координат . Осі і паралельні (рис. 2.52). Нехай кутові швидкості і напрямлені в один бік.

Рисунок 2.52

Розглянемо абсолютну швидкість довільної точки М тіла.

Швидкості і точки М розташовані в площині, перпендикулярній до осей і , отже, і абсолютна швидкість лежить в цій самій площині, тобто тіло виконує плоскопаралельний рух.

Відносна і переносна швидкості точок, що лежать на прямій , колінеарні і протилежно напрямлені. Отже, обов’язково знайдеться така точка , абсолютна швидкість якої дорівнює нулю:

. (2.120)

Це дозволяє стверджувати, зо результуючий рух є обертальним. Точка Р – миттєвий центр обертання.

Вектори і перпендикулярні до , їхні модулі відповідно дорівнюють

; ; ,

звідки

. (2.121)

Точка ділить відрізок внутрішнім способом на частини, обернено пропорційні модулям кутових швидкостей складових рухів.

Визначимо швидкість довільної точки тіла:

.

З рис. 2.52

; .

Тоді

;

.

Взявши до уваги (2.120) і позначивши , отримаємо

.

Таким чином,

при додаванні обертань навколо паралельних осей з різними за величинами кутовими швидкостями одного напряму результуючим рухом є миттєве обертання навколо осі, паралельної даним, з кутовою швидкістю, що дорівнює векторній сумі кутових швидкостей складових рухів. Миттєва вісь обертання ділить внутрішнім способом відстань між осями на частини, обернено пропорційні величинам кутових швидкостей складових рухів.

Випадок додавання обертань, що мають протилежний напрям, за умови , розглядається аналогічно. В цьому випадку точка ділить відрізок зовнішнім способом на частини, обернено пропорційні модулям кутових швидкостей.