Решение уравнения системы операционными методами

Если известна передаточная функция замкнутой системы, то можно определить изображение выходного сигнала системы:

.

В случае исследования качества принимаем , откуда .

Следовательно, .

Полученное уравнение справедливо при нулевых начальных условиях системы, т.е. при , , …

Для нахождения функции, описывающей процесс в системе, необходимо осуществить переход в область оригиналов:

.

Полученное решение позволяет построить график переходного процесса в системе и оценить ее качество.

Если система находится при начальных условиях, отличных от нулевых, то изображение Лапласа для производной k-порядка

, где содержит эти начальные условия. Уравнение системы в изображениях

,

.

С учетом начальных условий .

Обозначим , тогда

или и .

В полученном решении учтены ненулевые начальные условия системы.

Численное решение дифференциального уравнения

Использование ЭВМ сделало эффективным решение дифференциального уравнения численными методами. Дифференциальное уравнение переходной характеристики записывается на основе передаточной функции замкнутой системы и имеет следующий вид: .

Полученному уравнению соответствует структура, показанная на рис. 99а. Однако при наличии в системе дифференцирования сигнала ступенчатая функция 1(t) в момент t=0 подвергается дифференцированию, что в ряде случаев ведет к ошибке вычисления. Чтобы обойти эту трудность, структуру целесообразно изменить в соответствии с рис. 99б.

Н овая структура эквивалентна предыдущей, однако свободна от ее недостатка, поскольку в этом случае ступенчатая функция вначале преобразуется инерционными, колебательными и интегрирующими звеньями, замедляющими скорость изменения сигнала при t=0.

Новой структуре соответствует система уравнений

При этом первое уравнение является дифференциальным, а второе  алгебраическим, т.к. содержит производные, находимые из первого уравнения. Полученная система уравнений может быть составлена непосредственно на основе передаточной функции системы.

При численном решении дифференциального уравнения уравнение вида

с начальными условиями ,

можно представить как или ,

откуда .

Аналитическим решением уравнения является функция . Решить уравнение численным методом – это значит, для заданной последовательности аргументов и начального значения без определения найти такие значения , что , и .

В результате получим таблицу решений исходного дифференциального уравнения для заданной последовательности значений аргумента. Величина  шаг интегрирования.

Для нахождения переходной характеристики необходимо решить дифференциальное уравнение порядка n

. Для численного решения это уравнение следует преобразовать в систему уравнений первого порядка, записанных в нормальной форме Коши, что обеспечивается выполнением подстановок , , … . В результате этих подстановок и с учётом связей между новыми переменными получим систему дифференциальных уравнений первого порядка:

решение которой тем или иным численным методом на ЭВМ позволит получить таблицу значений величин z₀(t), z₁(t), z₂(t)… Решение для уравнения переходного процесса (переходная характеристика системы) находится через эти переменные:

.

При численном решении дифференциального уравнения переходной характеристики необходимо указывать начальные условия для исследуемой системы, а также определять допустимую погрешность решения, шаг интегрирования и пределы интегрирования.

При использовании ЭВМ и математического программного обеспечения численный метод оказывается наиболее простым методом.