Типовые звенья

В зависимости от назначения, особенностей конструкции и примененных элементов в составе той или иной системы автоматического управления могут быть самые разнообразные функциональные элементы, число которых в принципе не ограничено. Однако самые разнообразные по физической природе элементарные функциональные элементы можно описать ограниченным числом различающихся по виду дифференциальных уравнений. Названное обстоятельство приводит к тому, что число разновидностей структурных звеньев (т.е. описываемых отличающимися дифференциальными уравнениями) систем автоматического управления невелико.

Поскольку при математическом описании функционального элемента порядок дифференциального уравнения ограничивают вторым порядком, то возможны следующие пять типов описания (для обыкновенных линейных систем): дифференциальное уравнение нулевого порядка; дифференциальное уравнение первого порядка; дифференциальное уравнение второго порядка; функция интегрирования; функция дифференцирования. Перечисленные пять описаний рассматриваются в качестве типовых структурных звеньев обыкновенной линейной системы автоматического управления. Рассмотрим свойства типовых звеньев.

1. Безынерционное (усилительное) звено.

Уравнение безынерционного звена

,

где k – коэффициент усиления звена (параметр звена).

При подаче на вход звена сигнала, описываемого единичной ступенчатой функцией, на выходе получим переходную характеристику

.

В ыходной сигнал для этого звена повторяет по форме входной сигнал, но усиливается в k раз. Эти свойства звена и породили его название. Графики входного сигнала и переходной характеристики звена показаны на рис. 40.

Из уравнения звена определим его передаточную функцию

,

.

Частотная передаточная функция безынерционного звена

.

Для частотной передаточной функции и . Следовательно, график АФЧХ выродится в одну точку на комплексной плоскости (рис. 41).

Логарифмические характеристики усилительного звена определятся следующим образом:

L( ) = 20 lg k, ( ) = arctg 0 = 0.

Общий вид логарифмических частотных характеристик звена показан на рис. 42. Эти характеристики представляют собой прямые, параллельные оси частот. Частотные характеристики безынерционного звена свидетельствуют об идеальных динамических свойствах такого звена. Ни коэффициент усиления звена, ни фазовый сдвиг сигнала не зависят от частоты сигнала. Для реальных физических элементов такие свойства недостижимы.

П римером безынерционного звена могут служить электронный усилитель, рычажная передача (без учета массы), редуктор (без учета моментов инерции валов и шестерен) и пр. Безынерционное звено можно использовать для описания таких функциональных элементов системы, которые не оказывают существенного влияния на динамику системы.

2. Инерционное звено (апериодическое звено первого порядка).

Инерционное звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка

,

где T – постоянная времени звена, k – коэффициент усиления звена.

Найдём переходную характеристику звена при воздействии на его вход сигнала в виде единичной ступенчатой функции . Для этого необходимо решить уравнение

.

Для решения заменим переменную , при этом ,

.

Характеристическое уравнение для последнего дифференциального уравнения имеет вид

.

Характеристическое уравнение имеет единственный корень , следовательно, решение преобразованного дифференциального уравнения будет иметь следующий вид:

,

где D – постоянная интегрирования, которую необходимо определить из начальных условий. Примем в качестве начального условия y(0) = 0. Тогда

, откуда .

Перейдя от переменной z(t) к переменной y(t), получим решение дифференциального уравнения переходной характеристики (переходную характеристику)

.

Общий вид переходной характеристики инерционного звена показан на рис. 43. Переходный процесс апериодический и имеет плавный характер. Установившееся значение выходной величины y(t) равно k, на рисунке этому значению соответствует единица.

Уровня 95 % от установившегося значения процесс достигает за время 3T, где T – постоянная времени инерционного звена.

За время процесс достигает значения 0,63 от установившегося значения выходной величины. И, наконец, если в точке t = 0 провести касательную к графику переходного процесса, то она пересечёт уровень установившегося значения на удалении t = T от начала процесса. Описанные соотношения позволяют определять параметры инерционного звена на основе графика переходной характеристики, полученной, например, экспериментально.

Если записать дифференциальное уравнение инерционного звена в операторном виде

,

то легко получить выражение для передаточной функции звена

которая имеет первый порядок (порядок передаточной функции соответствует порядку дифференциального уравнения и определяется наибольшей степенью параметра p в выражении передаточной функции).

Р ассмотренный вид дифференциального уравнения и экспоненциальный переходный процесс являются типичными для значительного числа различных по физической природе преобразовательных элементов систем автоматического управления. Такие элементы в структурной схеме представляются инерционными (апериодическими) звеньями для учёта их влияния на динамику системы автоматического управления.

Частотная передаточная функция инерционного звена

.

При получении выражения для частотной передаточной функции выполнены преобразования с целью исключения мнимой части из знаменателя дроби.

Модуль и фазовый угол частотной передаточной функции:

Амплитудно-фазовая частотная характеристика инерционного звена имеет вид, показанный на рис. 44. Ветвь, соответствующая отрицательным частотам, располагается над вещественной осью, положительным частотам – под вещественной осью. Кривая образует правильную окружность.

При нулевой частоте точка АФЧХ лежит на вещественной оси на удалении k от начала координат. Вектор, проведённый из начала координат в точку, соответствующую частоте , образует угол 45° с положительным направлением вещественной оси, т.е. инерционное звено на этой частоте имеет фазовый сдвиг, равный 45°. Максимальный фазовый сдвиг звена составляет 90°.

Кроме графика АФЧХ на рис. 44 показаны так называемые круговые диаграммы замыкания, которые используются для анализа качества системы и будут нами обсуждены в соответствующем разделе курса.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

.

Эта характеристика обладает следующими свойствами:

, .

Логарифмическая фазовая частотная характеристика

,

при этом , , .

Общий вид ЛАХ и ЛФХ для инерционного звена показан на рис. 45. При низких частотах ЛАХ (кривая 1) близка к горизонтальной прямой линии, а при высоких частотах ЛАХ близка к прямой с наклоном – 20 дБ/дек. Наибольшая кривизна ЛАХ наблюдается в окрестностях частоты =1/T.

На практике часто используют для инерционного звена асимптотическую ЛАХ, состоящую из горизонтального отрезка прямой, проходящей на уровне 20lgk, и отрезка прямой с наклоном – 20 дБ/дек, стыкующегося с первым отрезком на частоте =1/T (ломаная линия 2 на рисунке). Погрешность от такой замены не превышает 3 дБ.

Частота =1/T называется частотой сопряжения. На этой частоте фазовый угол звена составляет 45°. При изменении частоты от нуля до бесконечности фазовый угол звена изменяется в пределах от нуля до 90°.