Передаточная функция

Обыкновенная линейная система автоматического управления описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением

Умножим обе части уравнения на е ^{– pt} и выполним интегрирование в пределах от 0 до :

В результате этих преобразований левая и правая части уравнения представляют собой выражения для преобразования Лапласа. Осуществим преобразование Лапласа, используя его свойства:

.

Полагая, что система находится при нулевых начальных условиях y (0) = 0, y '(0) = y '' (0) = ... = 0, вычислим изображения производных и получим

.

Полученное уравнение является алгебраическим уравнением и его можно решить относительно изображения выходной величины:

.

Передаточной функцией элемента (или системы) автоматического управления называется отношение Лапласовых изображений выходной и входной величин

При нахождении передаточной функции подразумевается, что элемент (или система) находится при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией от независимой переменной р. Передаточная функция легко получается из исходного дифференциального уравнения формальной подстановкой вместо производных символа р в соответствующей степени.

При р = 0 передаточная функция вырождается в коэффициент передачи. Обычно для передаточной функции m < n.

При известной передаточной функции процесс в системе определяется следующим образом:

и .

Корни числителя передаточной функции называются нулями передаточной функции, корни знаменателя передаточной функции – полюсами. В общем случае передаточная функция имеет m нулей и n полюсов. Нули и полюса могут быть комплексными.

Типовые воздействия

Процессы в системе автоматического управления возникают под влиянием внешних воздействий на систему. Внешними воздействиями могут быть управляющие воздействия, или возмущения. В реальных условиях внешние воздействия могут иметь произвольный характер и выражаться произвольными функциями времени как детерминированными, так и статистическими. Поскольку в этом случае задача исследования становится неопределенной, то при анализе систем автоматического управления используют ряд типовых воздействий, которые позволяют наиболее полно выявить динамические свойства исследуемой системы и в то же время наиболее близки к реальным внешним воздействиям.

В теории автоматического управления используются следующие типовые воздействия при изучении переходных процессов в системе.

1. Ступенчатая функция (скачкообразное воздействие).

График ступенчатой функции приведен на рис. 31. В нулевой момент времени воздействие скачком изменяется от нуля до некоторой постоянной величины. Аналитическое выражение для ступенчатой функции

.

П ри значении функции, равном единице (рис. 31), функция называется единичной ступенчатой функцией. Единичную функцию обозначают

x(t) = 1(t) = [1].

Если амплитуда ступенчатой функции отличается от единицы и равна некоторой величине А, то такая функция является неединичной и обозначается

x(t) = A[1].

Изображения Лапласа для ступенчатой функции

и .

2. Единичная импульсная функция, или дельта-функция.

Эта функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции .

Д ельта-функция равна нулю повсюду, кроме точки t = 0, где она стремится к бесконечности (рис. 32).

Основное свойство дельта-функции

,

т.е. она имеет единичную площадь.

Размерность единичной -функции [сек^–1]. -функцию можно рассматривать как предел прямоугольного импульса при стремлении его длительности к нулю, а амплитуды  к бесконечности. С помощью импульсной функции удобно моделировать ударные воздействия на систему (кратковременные воздействия – удары).