Устойчивость систем

Равновесное состояние механической системы – это такое её состояние, при котором приращение потенциальной энергии является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем приращение параметров системы. В состоянии равновесия потенциальная энергия системы имеет экстремальное значение, т.е., или максимальное или минимальное. В консервативной системе равновесие называют устойчивым, если потенциальная энергия системы минимальна. На рис. 2 окрестности точек Х и Х определяют устойчивое равновесие со значениями потенциальной энергии и соответственно. В окрестности точек и равновесие системы является неустойчивым, а значения потенциальной энергии в этих состояниях максимальны. В состоянии устойчивого равновесия система «лежит на дне потенциальной ямы». В этом состоянии равнодействующая все сил равна нулю, а при изменении параметров системы возникают силы, возвращающие её в положение равновесия. Если же система находится в состоянии неустойчивого равновесия, то говорят, что она «лежит на вершине горы» и при смещении системы в результате внешнего воздействия или флуктуации она «скатывается в потенциальную яму».

Диссипативные силы (силы, рассеивающие энергию) делают устойчивое равновесие ещё более устойчивым.

Понятие – устойчивость системы – пока не имеет четкого определения. Лагранж под устойчивостью системы понимал свойство системы в процессе изменения её параметров оставаться в ограниченной области фазового пространства, а принцип Ле Шателье – Брауна гласит, что если малое внешнее воздействие на систему стимулирует в ней процессы, стремящиеся ослабить это воздействие, то состояние системы устойчивое, в противном случае – состояние неустойчивое.

Термин «устойчивость» используется и при описании движения системы. Движение (изменение вообще), любой системы зависит от характера и величины, действующих на неё сил и начальных условий системы, Если, зная начальные условия и действующие силы, можно рассчитать состояние системы в любой момент времени, то такое движение системы называют невозмущенным. Но поскольку, существуют флуктуации параметров начального состояния и силы, действующие во время движения, флуктуируют, то движение системы является возмущенным, т.е., отличающимся от рассчитанного. Если флуктуации параметров начального состояния и характеристики сил, действующих во время движения, не уводят систему от невозмущенного движения, то такое движение называют устойчивым. Если же при возмущении начальных условий и внешних сил система все более и более удаляется от рассчитанного, невозмущенного движения, то движение этой системы называют неустойчивым.

Общая точка зрения на проблемы устойчивости формируется при помощи идей теории бифуркации и катастроф.

Бифуркация – термин, обозначающий ситуацию (состояние объекта или закона движения), в которой объект, зависящий от параметра (скалярного или векторного), в любой окрестности точки бифуркации , имеет исследуемые качественные свойства не одинаковые для всех . Причем, при изменении , могут возникать новые объекты, исчезать старые, объекты могут сливаться или из одного могут «рождаться» несколько, качественные свойства, которых определенным образом связаны с .

Развитие науки это не только цепь открытий и успехов, расширяющих возможности человека, но и осознание ограничений, особенностей, барьеров, обнаруживаемых фундаментальными теориями. Например, квантовая механика показала принципиальную невозможность одновременного измерения с заданной точностью координаты и импульса элементарной частицы. Не поддаются одновременному измерению с заданной точностью и многие другие пары величин. В ряду ограничений и барьеров на пути познания большое место занимают работы, связанные с предсказуемостью поведения систем различной природы. Деление объектов на детерминированные и стохастические, оказалось, является неполным и не окончательным.

Детерминированность системы указывает на однозначную взаимосвязь причины и следствия событий в ней, т.е., в ней выполняются динамические закономерности. Детерминированность ассоциируется с предсказуемостью и воспроизводимостью исхода события в системе. Поведение детерминированной системы можно прогнозировать на любой промежуток времени.

Исследования последних десятилетий показали, что символом нашего физического мира не может быть устойчивость и детерминированность. Наш мир – это мир неустойчивостей и флуктуаций, именно они ответственны за поразительное многообразие и неожиданность форм и структур в природе.

Стохастические системы формально можно отнести к детерминированным, потому что, точно зная их текущее состояние, можно установить, что произойдет с системой в далеком будущем. И вместе с тем, сколь угодно малая неточность в определении начального состояния системы нарастает со временем, и с некоторого момента времени мы теряем возможность что–либо предсказывать. В это время система ведет себя хаотически, Можно сказать, в системе возникает детерминированный или динамический хаос, т.е., случайное, непредсказуемое поведение системы управляется динамическими закономерностями.

Одной из фундаментальных проблем современного естествознания является изучение хаотических процессов в детерминированных системах с нелинейными ограничениями. В системах с линейными ограничениями, параметры состояния Χ меняются по линейному закону в зависимости от величины внешнего воздействия . Для каждого значения имеется только одно состояние с параметрами Χ. Более того, поскольку для определения прямой линии достаточно двух точек, можно однозначно предсказывать стационарное состояние при любом значении внешнего воздействия , если имеется пара точек определенных экспериментально (рис.).

В нелинейных системах значение параметра состояния Χ связано с управляющим параметром нелинейным законом (рис.). При значениях параметра состояние системы однозначно, а при значениях система может находиться в нескольких состояниях.