15.3. Математичний апарат дослідження дискретних систем

Величини, що описують поводження автоматичних систем, являють собою функції часу. Математичне дослідження дискретних систем істотно спрощується в тому випадку, коли всі величини розглядаються в дискретні рівновіддалені моменти часу.

Ґратчасті функції й різницеві рівняння. Ґратчаста функція часу x[nT], або в скороченому записі x[n] - це математична функція, значення якої визначені в дискретні рівновіддалені друг від друга моменти часу t = nT, де n - ціле позитивне число 0, 1, 2 ..., а Т - період дискретності. Тобто ґратчаста функція являє собою числову послідовність:

x[0], x[1T], x[2T], x[3T], ... , x[kT], ... .

Якщо період дискретності T заданий, то ґратчаста функція однозначно формується з вихідної безперервної. Операція заміни безперервної функції ґратчастої

_t=nT

показана на рис. 15.3.

Зворотне завдання - формування безперервної функції із ґратчастої - не може бути вирішена однозначно без додаткових відомостей про поводження функції в інтервалі між крапками t = nT, тому що функції, заданої в дискретні моменти часу, може відповідати нескінченна безліч безперервних функцій.

Виникає питання, при яких умовах можливо точне відновлення квантованій функції. Відповідь на нього дає теорема Котельникова-Шеннона: безперервний сигнал x(t), частотний спектр якого обмежений смугою 0 < f < f_п, повністю визначається послідовністю своїх дискретних значень, якщо період повторення Т цих значень задовольняє умові

де f_п[Гц], _п [С^-1] - частота пропущення.

Рис. 15.3.Тимчасові діаграми зміни безперервної функції x(t)

і ґратчастої функції x[nT]

Зміщена ґратчаста функція часу являє собою числову послідовність:

x[σT], x[1T+σT], x[2T+σT], x[3T+σT], ... , x[kT+σT], ... ,

утворену в результаті вибірки значень функції x(t) у крапках t = n+σT осі часу

_t=nT+σT (15.4)

де σ - постійне число з інтервалу 0≤ σ≤ 1.

Параметр σ розглядається в якості відносного (безрозмірного) часу, відлічуваного від початку чергового ( n-го) інтервалу повторення. Його іноді називають локальним (місцевим) часом.

Зміщена ґратчаста функція x[n,σ] для всіх можливих значень σ дозволяє однозначно відновити “ функцію, що породила ” її безперервну, x(t).

Свого роду дискретними аналогами похідних і інтегралів безперервних функцій для ґратчастих функцій є кінцеві різниці й суми.

Кінцеві різниці ґратчастих функцій бувають двох видів: прямі (що попереджають) і зворотні (відстаючі).

Перша пряма різниця

x[n,]=x[n+1,]x[n,] (15.5)

і перша зворотна різниця

x[n,]=x[n,]x[ n-1,]. (15.6)

Різниці довільного порядку k визначаються за допомогою рекурентних співвідношень:

^k x[n,] = { ^k-1 x[n,]}= ^k-1 x[n+1,] ^k-1 x[n,], (15.7)

^k x[n,] = {^k-1 x[n,]}= ^k-1 x[n,] ^k-1 x[ n-1,] (15.8)

або формул загального виду

де біноміальні коефіцієнти (число сполучень)

Пряма й зворотна різниці зв'язані співвідношенням

^k x[n,] = ^k x[ n-k,]. (15.12)

Співвідношення (15.9) і (15.10) показують, що для обчислення різниці k-го порядку в деякій крапці [n,σ] потрібно знати значення функції x[n,σ] в (k+1)-й крапці. Для прямої різниці цими значеннями є поточне x[n,σ] і наступні x[n+1,σ], x[n+2,σ], ..., x[n+k,σ] значення; обчислення зворотної різниці вимагає знання попередніх x[ n-1,σ], x[ n-2,σ], ..., x[ n-k,σ] значень послідовності x[n,σ].

Зворотні різниці мають важливу особливість. Якщо ґратчаста функція визначена тільки для позитивних значень аргументу, тобто x[n,σ] ≡ 0 при n < 0, те, як треба з (15.10), у крапці n = 0 k-я різниця

^k x[0,] = x[0,] (15.13)

для будь-якого цілого позитивного k.

Аналогами інтеграла безперервної функції в межах від 0 до t для ґратчастої є неповна сума

і повна сума

Відмінність (15.15) від (15.14) полягає в тім, що значення x[n,σ] у момент часу t = n + σT також бере участь у формуванні результату.

Різницеві рівняння (рівняння в кінцевих різницях) зв'язують між собою ґратчасті функції і їхні кінцеві різниці. При використанні прямих різниць неоднорідні лінійні різницеві рівняння m-го порядку мають вигляд

b₀^my[n,] + b₁^m1y[n,] + ... + b_m1y[n,] +b_my[n,] = f[n,], (15.16)

де f[n,σ] - задана, а y[n,σ] - шукані ґратчасті функції. При f[n,σ] ≡ 0 рівняння (15.16) стає однорідним різницевим рівнянням, рішенням якого буде y[n,(σ].

При використанні (15.9) різницеве рівняння (15.16) можна записати в іншому виді:

a₀y[n+m,] + a₁y[n+m1,] + ... + a_my[n,] = f[n,]. (15.17)

Коефіцієнти цього рівняння визначаються

де біноміальні коефіцієнти (число сполучень)

При використанні зворотних різниць неоднорідні лінійні різницеві рівняння m-го порядку будуть

b₀^my[n,] + b₁^m1y[n,] + ... + b_m1y[n,] +b_my[n,] = f[n,]. (15.20)

З обліком (15.10) останнє вираження здобуває вид

a₀y[n,] + a₁y[n1,] + ... + a_my[nm,] = f[n,]. (15.21)

Коефіцієнти цього рівняння визначаються

де біноміальні коефіцієнти (число сполучень)

Різницеві рівняння можна розглядати як рекурентні співвідношення, що дозволяють обчислювати значення y[n+m,σ] при n = 0, 1, 2, ... для рівняння (15.17) і заданих початкових значень y[0,σ], y[1,σ], ..., y[ m-1,σ] або значення y[n,σ] при n = 0, 1, 2, ... для рівняння (15.21) і заданих початкових значень

y[ n-m,σ], y[ n-m+1,σ], ..., y[ n-1,σ].

Рішення рівняння (15.21) при σ = 0 являє собою рекурентну формулу:

при нульових початкових умовах y[n] ≡ 0 при n < 0. Структурна схема рішення наведена на рис. 15.4.

Рис. 15.4.Структурна схема рішення різницевого рівняння

Загальне рішення однорідного різницевого рівняння при некратних коріннях характеристичного рівняння може бути записане в такий спосіб:

де z_i - корінь характеристичного рівняння

a₀ z^m + a₁ z^m-1 + ... + a_m = 0, (15.26)

C_i - постійні коефіцієнти.

Для одержання можливості дослідження рішень різницевих рівнянь у загальному виді широко використовуються дискретне перетворення Лапласа, z-перетворення, w-перетворення, а також частотні методи.

Z - перетворення. Подібно тому, як застосування перетворення Лапласа до лінійних диференціальних рівнянь дало можливість одержати зручну методику аналізу безперервних систем, для дискретних систем також був розроблений ряди спеціальних перетворень. З них найбільше поширення одержали дискретне перетворення Лапласа, уведене в 1949 р. Я.З.Ципкиним, і z-перетворення, запропоноване наприкінці 40-х років Штибицем і Шеноном.

Z-перетворенням ґратчастої функції x[n] називається функція комплексного аргументу z, обумовлена вираженням

при >R=1/ρ , де ρ - радіус збіжності ряду.

Функція x[n] називається оригіналом, а функція X(z) - зображенням або z-перетворенням функції x[n].

Перетворення, у якому z = e^sТ, було уведено Я.З.Ципкиним за назвою дискретне перетворення Лапласа.

Z-перетворення (15.27) дає можливість одержати з X(z) значення ординат ґратчастої функції x[n] у моменти квантування. Але в системах керування з безперервними динамічними частинами процес безперервний і між моментами n = 0, 1, 2 ... Для знаходження цих ординат необхідно розглянути послідовності для інших дискретних моментів з тим же інтервалом повторення, але зміщених на значення σT: t = (n+σ)T при 0 ≤ σ ≤ 1. Це можна робити за допомогою модифікованого z-перетворення.

Модифіковане z-перетворення ґратчастої функції x[n+T]:

Функція X(z,σ), обумовлена вираженням (15.28), називається z-перетворенням безперервної функції часу x(t) і позначається як

X(z,) = Z {x(t)}; (15.29)

z-перетворення функції x(t) можна також представити в такий спосіб:

X(z,) = Z {X(s)}, (15.30)

де X(s) - перетворення Лапласа від x(t). У цьому випадку мається на увазі, що перетворенню піддається функція часу й запис (15.30) носить чисто формальний характер.

Т а б л и ц а 15.1

Z - перетворення функцій часу

x(t)	X(s)	x[n]	X(z)	X(z,)
(t)	1	[n]	1	
1(t)	1/s	1[n]	z/( z-1)	z/( z-1)
t	1/s2	n	Tz/( z-1)2	Tz/( z-1)2+ + +Tz/( z-1)
	1/(s+)		z/( z-d) (d=e-aT )	. . .
t2/2!	1/s3	(nT)2/2!		. . .
			(d=e-aT )	. . .
	1/(s+)3		(d= )	. . .

Для знаходження z-зображень ґратчастих функцій по заданому оригіналі й навпаки є спеціальні таблиці, фрагмент такої таблиці наведений вище. Необхідно відзначити, що всі функції часу, що мають однакові значення в дискретні моменти часу, мають однаковими z-перетворення й тому зв'язок між функцією часу і її z-зображенням не є взаємно однозначною. Однак, сімейство модифікованих z-перетворень ґратчастої функції для всіх ( від 0 до 1 однозначно визначає безперервну функцію.

Властивості z-перетворення обмежимося розглядом деяких з них, які будуть потрібні надалі.

1. Властивість лінійності. Якщо F₁(z,)=Z_ {f₁(t)} і F₂(z,)=Z_{f₂(t)}, то

Z {a₁f₁(t) + a₂f₂(t)}= a₁ F₁(z,) + a₂ F₂(z,). (15.31)

2. Теорема зрушення (зсуву). Якщо Z {f(t)} = F(z,) і  - довільне позитивне число, тоді

де τ=mT+ , m - ціла, - дробова частина числа T;

якщо τ = mT, тоді

Z_ {f(tm)}=z^m(z,). (15.33)

3. Зображення зворотних різниць

Z{^kf[nT]}= (1  z^1)^kF(z). (15.34)

4. Зображення кінцевих сум:

повних

неповних

5. Граничні значення. Якщо дискретні значення функції в сталому режимі існують, то вони можуть бути знайдені шляхом наступного граничного переходу:

початкове значення функції оригіналу:

6. Згортка функцій. Якщо F₁(z) = Z{f₁(t)} і F₂(z) = Z{f₂(t)}, то

І

7. Формула обігу. Дискретні значення функції по її z-перетворенню визначають наступним контурним інтегралом:

8. Зображення різницевих рівнянь. Нехай різницеве рівняння, що зв'язує вихідну координату y[n] імпульсної системи з її вхідним впливом f[n], має такий вигляд:

a₀y[n]+a₁y[n1]+...+a_my[nm] = b₀f[n]+b₁f[n1]+...+b_lf[nl], (15.42)

при m l і y[n]  0, f[n]  0 для всіх n < 0.

Піддавши вихідне рівняння z-перетворенню, одержимо

a₀Y(z)+a₁ z^1Y(z)+...+a_m z^m(z) = b₀F(z)+b₁ z^-1F(z)+...+b_l z^l(z),

яке можна переписати у вигляді

A(z)Y(z)=B(z)F(z), (15.43)

де поліноми

З (15.43) знаходимо зображення вихідної координати

Y(z)=W(z)F(z), (15.45)

За аналогією з визначенням передатної функції безперервних систем вираження W(z) називається дискретною передатною функцією імпульсної системи.

Даний запис відрізняється від передатної функції для безперервних систем тим, що змінна z у поліномах має негативні ступені. Для того, щоб була повна аналогія з передатними функціями безперервних систем, ступінь змінної z роблять позитивної шляхом помноження чисельника й знаменника вираження (15.46) на z^m . Тоді одержимо формулу, що повністю аналогічна записи для безперервної функції

Завдання одержання різницевого рівняння по дискретній передатній функції вирішується у зворотній послідовності.

Приклад.Написати різницеве рівняння, що зв'язують вихідну координату Y[nT] і вхідний вплив f[nT] імпульсної системи, заданою передатною функцією

Рішення. Помножив чисельник і знаменник W(z) на z^2. У результаті одержимо

На підставі останнього вираження різницеве рівняння буде

a₀y[n] + a₁y[n1] + a₂y[n2] = b₁f[n1] + b₂f[n2].

Його рішення при нульових початкових умовах y[n] ≡ 0, f[n] ≡ 0 для всіх n < 0:

y[n] = [1/a₀]{b₁f[n1] + b₂f[n2]  a₁y[n1]  a₂y[n2]}.

Отриманому рішенню відповідає структурна схема, наведена на рис. 15.5.

Рис. 15.5. Структурна схема імпульсної системи

Комплексний спектр ґратчастої функції часу. Комплексний спектр ґратчастої функції часу f[n,] являє собою комплексну функцію речовинного змінного , обумовлену наступним вираженням:

_z=e^jωT,при -∞ <ω<∞ (15.48)

Таким чином, для одержання комплексного спектра необхідно в зображенні ґратчастої функції зробити заміну z = e^jT, звідки треба, що функція z є періодичною функцією  з періодом, рівним 2T. Із цієї причини комплексний спектр ґратчастої функції також є періодичною функцією  того ж самого періоду:

(15.49)

і, отже, може розглядатися на будь-якому інтервалі значень , довжина якого дорівнює 2T. Як такий інтервал прийнятий інтервал

Подібно будь-якої комплексної функції спектр (15.48) може бути представлений у показовій або алгебраїчній формі запису:

F(e^jωT,) = А()e^{j(, )} = U() + j(), (15.51)

де A(), (), U(), V() називаються відповідно амплітудним, фазовим, речовинним і мнимим спектрами ґратчастої функції f[n,]. При фіксованому значенні  спектр (1.51) зображується вектором у площині (U, j); при зміні  від T до T, кінець вектора F(e^jT,) креслить деяку криву, що є графічним зображенням спектра.