14.6. Оцінювання координат стану систем

Оцінювання координат стану систем потрібно якщо буде потреба введення в систему автоматичного керуваннякоригувального сигналу від якої-небудь координати стану xi, що не виміряється як фізична.

Для цього служить непряма оцінка невимірюваних координат стану системи шляхом введення так званого “спостерігача” по Калману. Метод оцінки вектора стану дає можливість “відновити” невимірювані координати вектора стану у вигляді й використовувати “відновлений” вектор стану системи для рішеннязавдання, наприклад, модального синтезу в просторі станів.

Схема оцінювання координат стану реалізується у вигляді додаткової динамічної аналогової моделі - спостерігача.

Для одержання алгоритму спостерігача Калмана запишемо у векторно-матричній формі рівняння об'єкта керування

(14.46)

і керуючий вплив

U = M + FG , (14.47)

де G - вплив, що задає;

A, B, M, F - матриці коефіцієнтів.

Вихідні координати системи задаються у вигляді

Y = CX .

Оцінка координат стану системи спостерігачем формується в такий спосіб:

= A BM + P( YC ) + BFG , (14.48)

де P –тежматрицякоефіцієнтів.

Розглядаючиспільнорівняння (14.46), (14.47) і (14.48), одержимо

(14.49)

= PCX + (A  BM PC) + BFG , (14.50)

або у векторно-матричній формі

.

З отриманих рівнянь видно, що при використанні спостерігача порядок всієї системи збільшується до 2n, тоді як n - число координат, які можна використовуватидля керування системою, зберігається.

Характеристичне рівняння системи зі спостерігачем має вигляд

(14.51)

Для оцінки точності роботи спостерігача перейдемо до нових координат у вигляді X = X  . Віднімаючи (14.50) з (14.49), одержуємо

 = AXPCX (APC) = A[ X ] PC[ X ].

Отже,

 = (APC) X. (14.52)

З рівняння (14.49), заміняючи = X X, при відсутності впливу, що задає, G маємо

або

(14.53)

Рівняння (14.53) і (14.52) у векторно-матричній формі мають вигляд

(14.54)

Характеристичне рівняння для цієї системи буде

Воно приймає вид

D(λ) =

т. е. розпадається на два рівняння

(14.55)

(14.56)

Остання обставина дає можливість незалежного модального синтезу як основної системи з координатами вектора X по рівнянню (14.55), так і системи визначення погрішності ΔX по рівнянню (14.56). Потрібно, щоб погрішність спостереження ΔX(t) швидко загасала в часі.

Існують і інші схеми спостерігачів, кожний з яких має свої особливості.

14.7. Прямий кореневий метод синтезу систем керування

Якість процесу керування визначається розташуванням корінів характеристичного рівняння замкнутої системи. У зв'язку із цим розроблені різні кореневі методи розрахунку систем керування. Одним з них є прямий кореневий метод синтезу, називаний модальним методом синтезу системи по заданій якості процесу керування . Уводиться цільова функція, що є функціональним вираженням поставленої мети при синтезі системи. Звичайно цільову функцію представляють як обмежену скалярну дійсну безупинно диференційовану функцію F = F(q₁, q₂, ..., q_n) шуканих параметрів q_i (i = 1, 2, ..., n) регулятора системи.

При цьому загальнезавдання розглядають як вибір вектора параметрів q = [q₁, q₂, ..., q_n]^{T ,}оптимізуючого в припустимих межах значення цільової функції на припустимій безлічі Qⁿ.

Однак часто при проектуванні системи не проводять подібну оптимізацію, а виходять із задоволення заданим вимогам.

У цьому випадку завдання синтезу полягає в тім, щоб, опираючись на ряд якісних показників системи, знайти відповідне розташування корінів характеристичного рівняння замкнутої системи ₁, _2, ..., _n на комплексній площині, а потім знайти параметри регулятора, що забезпечують задане розташуваннязазначених корінів. При цьому вихідними якісними показниками можуть бути, наприклад, вид перехідного процесу, час регулювання, коливальність, інтегральна квадратична помилка й так далі. Зазначені вимоги на одночасне виконання різних якісних показників створюваної системи приводять до завдання виділення на комплексній площині відповідних областей припустимого розташування корінів характеристичного рівняння замкнутої системи.

Характеристичне рівняння системи D(λ) = 0 листується у вигляді

ⁿ +a₁^n-1+ a₂^n-2+ ... + a_n-1 +a_n = 0. (14.57)

Кожний коефіцієнт a_i (i = 1, 2, ..., n) є функцією від параметрів об'єкта керування й регулятора.