14.2. Структура рішення рівнянь змінні стану

Розглянемо лінійну однорідну систему з постійними коефіцієнтами

(14.4)

Рішення її X(t) характеризує вільне поводження системи. Нехай вектор початкових умов має вигляд

(14.5)

Розкладемо шуканий вектор X(t) у статечний ряд по t:

(14.6)

Диференціюючи (14.4), знайдемо

і т.д. (14.7)

Тоді при t=0 одержимо

= (14.8)

У підсумку ряд (14.6) можна переписати у вигляді

(14.9)

Підставляючи е^АtХ₀у вихідне рівняння (14.4), легко переконатися, що (14.9) являє собою рішення. Думаючи в (14.9) t=0, одержимо X₀.

Таким чином, інтегрування однорідної системи (14.4) зводиться до обчислення матриці е^Аt і множенню її на вектор початкових умов X₀. Матриця е^Аt називається матричною експонентою. У теорії керування вона часто називається перехідною матрицею стану.

Рішення однорідного рівняння (14.4) має вигляд

(14.10)

Якщо рух починається в момент часу t=t₀, то рішення приймає форму

(14.11)

Матриця може бути представлена у вигляді розкладання в матричний статечний ряд

який сходиться абсолютно й рівномірно при будь-якому значенні t.

Основні властивості матриці е^Аt :

1. Матриці й комутирують, тобто

(14.13)

2. Матриця е^Аt - завжди неособлива, її зворотна матриця

(е^Аt)^-1= е^-At . (14.14)

3. Якщо АВ=ВА, то

е^(A+B)= е^Ае^В= е^Ве^А . (14.15)

4. Похідна е^Аt

Це означає, що матриця е^Аt комутирує з A.

5. Інтеграл е^Аt

звідки

Якщо матриця А - неособлива, одержимо

Для рішення неоднорідного рівняння перетворимо його до виду

і помножимо ліворуч на е^-At

Ліва частина рівняння

оскільки

Тоді

Інтегрування останнього вираження дає

Множачи отримане рівняння ліворуч на е^Аt і з огляду на властивість (14.14), одержимо остаточно

Першийдодатокв (14.19) являєсобоюрішенняоднорідногодиференціальногоматричногорівнянняіописуєвільнийрухсистеми, викликанийпочатковимиумовами, другийдодаток – змушенийрухпідвпливомзовнішньоговпливу U(t).

Тоді повне рішення системи (14.1) має вигляд

14.3. Характеристики систем у просторі станів

Характеристики системи показують її принципові можливості. Ці можливості в значній мірі виявляються при вивченні властивостей системи, які прийнято називати стійкістю, спостережливістю, керованістю і адаптованістю. Часто між спостережливістю і ідентифікуемостю не роблять розходжень, а адаптованість розглядається як окремий випадок керованості.

Керованість і спостережливість, так само як і стійкість, ставляться до числа найважливіших характеристик динамічних систем. Якщо стійкістьхарактеризує властивість системи вертатися після збурювання в положення рівноваги, то керованість характеризує можливість зміни стану системи за допомогою вхідних сигналів, а спостережливість можливість визначення стану системи за спостереженнями за її вихідними сигналами.

Стійкість системи. Необхідною й достатньою умовою стійкості системи є заперечність речовинних частин власних чисел _i матриці А

Re_i<0; i = 1, 2, ... , n, (14.21)

де _i - корінь характеристичного рівняння AE= 0;

n - порядок системи.

Для того щоб оцінити розташування спектра матриці A щодо мнимої осі, необхідно розкрити характеристичний визначник AE і одержати характеристичне рівняння n-ой ступеня відносно 

AE= a₀ⁿ +a₁^n-1 + a₂^n-2 +...+ a_n-1 +a_n = 0. (14.22)

Післяодержанняхарактеристичногорівнянняувигляді (14.22)

Звичайнозастосовуєтьсятойабоіншийзвідомихкритеріївстійкості, наприклад,

Рауса,ГурвіцаабоМихайловаабовиробляєтьсябезпосереднєобчисленнявсієїсукупностікорінів, щоувипадкувисокогопорядкуnматриціAсполученозізначнимитруднощамийможливолишезадопомогоюЕОМ.

Крім того, розроблені матричні критерії, що дозволяють оцінити стійкість системи безпосередньо по матриці A без знаходження характеристичного полінома.

Для того щоб система була асимптотично стійка, необхідно й досить, щоб для матриці

G=E2(EA)^1

виконувалася умова

G^k0, при k. (14.23)

Виконання необхідної й достатньої умови стійкості можна встановити по факту абсолютного убування елементів матриці G^k. Зведення матриці в ступінь рекомендується виконувати так, щоб кожна наступна матриця була квадратом попередньої.

Керованість системи. Система називається керованої, якщо для будь-якого початкового стану X(0)Rⁿ існує керування U(t), що переводить її за кінцевий час T у нульовий стан X(T)=0 або система керована, якщо існує керуючий вплив U(t), що дозволяє перевестиїї за кінцевий час T у кожне наперед заданий стан із простору станів X(T)Rⁿ.

Спостережливість системи.Система називається спостережуваную, якщо за спостереженнями за вихідним сигналом Y(t) протягом кінцевого часу T можна визначити її початковий стан X(0).

Прості критерії перевірки керованості й спостережливісті системи засновані на аналізі матриці керованості

K=[BABA²B ...A^n-1B] (14.24)

і матриці спостережливісті

L=[C^T (CA)^T (CA²)^T ... ( CA^n-1)^T]. (14.25)

Необхідною й достатньою умовою керованості системи єневироджуваність матриці керованості

det K≠0, (14.26)

що еквівалентно умові рівності рангу матриці К порядку n системи, тобто rank K = n. Якщо rank K < n, то система не повністю керована; якщо rank K = 0 - система повністю некерована.

Необхідною й достатньою умовою спостережливісті системи єневироджуваність матриці спостережливісті

det L≠0. (14.27)

що еквівалентно умові рівності рангу матриці L порядку n системи, тобто rank L = n. Якщо rank L < n, то система не повністю спостережувана.

Таким чином, керованість системи визначається властивостями пари матриць A і B, а спостережливість властивостями пари матриць A і C. Стійкість системи визначається властивостями тільки однієї матриці A.

Приклад.Оцінити принципові можливості системи автоматичного керування, заданої матрицями:

Рішення. Характеристичний визначник матриці A

Вирішуючи рівняння , знаходимо власні числа матриці А: ₁=2, ₂ = 1, ₃ = 1.

Система нестійка, тому що ₁=2>0.

Матриця керованості

, det K=11=0, отже, система некерована.

Матриця спостереження

, det L=11=0, отже, система неспостережувана.