12.2.2 Другий метод Ляпунова

А. М. Ляпунов запропонував метод, що дозволяє отримати достатні умови стійкості нелінійних систем автоматичного управління. Спочатку метод був розроблений для дослідження локальної стійкості, тобто стійкості в достатньо малій околиці особливих точок, надалі він був розширений і для дослідження стійкості "у великому". Цей метод отримав назву другого методу Ляпунова. Для його викладу необхідні деякі допоміжні відомості, приведені нижче.

12.2.2.1 Поняття про знаковизначенні, знакопостійні і знакозмінні функції

Хай є функція декількох змінних V = V(y1, y2, ..., yn), де у1, у2, ..., ynє прямокутними координатами n-мірного фазового простору. У кожній точці цього простору функція Vмає деяке певне значення, залежно від того, які це будуть значення, вводяться назви цієї функції.

Функція V називається знаковизначеною в даній області, якщо вона в усіх точках цій області навколо початку координат зберігає один і той же знак і ніде, окрім початку координат, не звертається в нуль.

Прикладом знаковизначеної функції є функція виду

V = у12 + у22 +...+ yn2,

яка при всіх дійсних значеннях у1,у2, ..., уnбуде позитивною (V>0) і лише, коли одночасно

у1 = 0, у2 = 0, ..., yn=0 вона обертається в нуль (V = 0). Ця функція називається знаковизначеною позитивною на відміну від функції

,

яка називається знаковизначеною негативною, оскільки для будь-яких у1, у2, ..., уn V < 0 і

V = 0 при у1= 0, у2 = 0, ..., уn = 0.

Функція V називається знакопостійною, якщо вона в даній області зберігає один і той же знак, але може звертатися в нуль не тільки на початку координат, але і в інших точках даної області.

Прикладом знакопостійної функції при n = 3 є функція V = (y1 + у2)2 + у32, яка обертається в нуль, крім початку координат, ще на прямій у2 = -у1 і у3= 0, у решти всіх точок вона позитивна. Функція V = |siny1 + cosy2| також є знакопостійною, оскільки вона при всіх дійсних y1 і у2 позитивна або рівна нулю.

Функція Vназивається знакозмінною, якщо вона в даній області навколо початку координат міняє свій знак.

Прикладом знакозмінної функції є функція V = y1 + y2. Ця функція позитивна для всіх точок праворуч від прямої у1 = -у2 і негативна зліва від цієї прямої.

12.2.2.2 ФункціяЛяпунова

Згідно другого методу Ляпунова в розгляд вводиться спеціальна функція V(y1, у2, ..., уn),задана у фазовому просторі. Вона називається функцією Ляпунова і володіє наступними властивостями:

1. Функція V безперервна зі всіма своїми частковими похідними першого порядку в деякій відкритій області, що містить початок координат.

2. На початку координат функція V(y1, у2, ..., уn) приймає нульове значення, тобто при у1 = 0, у2 = 0, ..., уn = 0, V(y1, y2, ...,yn) = 0.

3. Всюди усередині даної області функція Vє знаковизначеною, тобто або V>0, або V<0.

Повна похідна від функції Ляпунова за часом запишеться у вигляді

Хай дана нелінійна система автоматичного управління описується системою диференціальних рівнянь першого порядку у відхиленнях всіх змінних від їх значень в сталому процесі. Отже, для нелінійної системи n-го порядку ці рівняння будуть:

де функції F1, F2, ..., Fnдовільні і містять нелінійності будь-якого вигляду, але завжди задовольняють умові, що при у1 = у2 = ... = уn= 0, F1 = F2 = ... = Fn = 0, оскільки в сталому стані всі відхилення змінних і їх похідних рівні нулю за самим визначенням поняття цих відхилень.

Якщо тепер в похідну від функції Ляпунова (12.9) підставити значення dy1(t)/dt, dy2(t)/dt, ..., dyn(t)/dt з системи рівнянь даної системи управління (12.10), то отримаємо похідну від функції Ляпунова за часом у вигляді

(12.11)

Правими частинами рівнянь (12.10) є задані функції від відхилень y1, y2, ..., уn. Отже, похідна від функції Ляпунова за часом, так само як і сама функція V, є деякою функцією відхилень, тобто

причому, так само як і функція V, ця функція W тотожно обертається в нуль при

у1 = у2= ... = уn =0.

У зв'язку з цим до функції W (12.12) можна застосовувати поняття знаковизначеності, знакопостійності і знакозмінності в деякій області навколо початку координат.