10.3 Методи лінеаризації

Особливості поведінки нелінійних систем і різноманіття процесів, що протікають в них, створюють труднощі при їх математичному описі і дослідженні. У багатьох випадках представляється можливим і доцільним замінити реальні нелінійні характеристики наближеними лінійними залежностями, тобто початкова нелінійна система буде замінена деякою лінеаризованою системою. Залежно від типу нелинейностей застосовують різні методи лінеаризації. Найбільш поширеними є: для слабких нелинейностей - розкладання в ряд Тейлора, для сильних нелинейностей - гармонійна лінеаризація, для релейних систем - вібраційна лінеаризація.

10.3.1 Розкладання в ряд Тейлора

Основним методом лінеаризації нелінійних залежностей є метод переходу до малих збурень і метод усереднювання нелінійних характеристик.

Якщо статична характеристика нелінійного елементу уне = f(х) є безперервною функцією з безперервними похідними в деякій області значень х, то ця характеристика завжди може бути розкладена в ряд Тейлора в околиці будь-якої точки х0, що належить цій області:

Сенс лінеаризації полягає в тому, що при достатньо малих значеннях можна покласти, що

Якщо позначити Δу = f(х) - f(х0), то отримують лінеаризовану статичну характеристику у відхиленнях (рис. 10.10)

, (10.8,а)

де

,

або

(10.8, б)

де

10.3.2 Гармонійна лінеаризація

У теорії управління в більшості випадків доводиться мати справу з неаналітичними, розривними і неоднозначними нелинейностями. Для характеристики особливостей подібних нелінійних елементів, як вже наголошувалося вище, розглядається проходження через них гармонійного сигналу . Якщо система змінює частоту вхідних коливань, то вона називається частотоперетворюючою, якщо немає - нечастотоперетворюючою. Далі розглядаються нечастотоперетворюючі системи. На виході безінерційного нелінійного нечастотоперетворюючого елементу із статичною характеристикою встановлюються періодичні коливання, які можна представити як суму гармонійних складових за допомогою ряду Фурьє (рис. 10.10), до складу якого входять гармоніки:

Рис. 10.10 Гармонійна лінеаризація

Частота ω0 називається головною частотою. Якщо на виході нелінійного елементу розглядати тільки першу гармоніку, а останні до уваги не приймати, то отримаємо деякий лінеаризований елемент. Таку процедуру можна виконати, якщо виконуватиметься гіпотеза фільтру. Вихідний сигнал після нелінійного елементу записується таким чином:

де

Згідно гіпотезі фільтру всі гармоніки, починаючи з другої, мають достатньо малу амплітуду в порівнянні з першою гармонікою і ними можна нехтувати. Тоді рівняння вимушених коливань на виході запишеться у вигляді

(10.9)

або

де

Якщо приймати , то

(10.10)

Таким чином, на вхід подали гармонійний сигнал і на виході отримали також гармонійний сигнал (10.10). Отже, в розгляд можна ввести частотні характеристики, аналогічні частотним характеристикам лінійної системи:

- амлитудно-частотна характеристика

(10.11)

- фазочастотна характеристика

(10.12)

- амплитудно-фазова характеристика

(10.13)

Оскільки характеристики (10.11) - (10.13) були отримані для лінеаризованої системи, то вони отримали назву еквівалентних.

На практиці широкого поширення набули зворотні частотні характеристики:

- зворотна АФХ:

(10.14)

- зворотна АЧХ: (10.15)

- зворотна ФЧХ

(10.16)

Розглянемо декілька прикладів.

Приклад 10.1 Побудувати еквівалентні частотні характеристики для нелінійного елементу - двопозиційного реле (рис. 10.6, а).

Оскільки характеристика однозначна, то , а коефіцієнт визначиться таким чином, період .

Отже,

• еквівалентна амплітудно-частотна характеристика (рис. 10.11, а)

Рис. 10.11 Еквівалентні частотні характеристики двопозиційного реле:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ; г - інверсна АФХ

- еквівалентна фазочастотна характеристика (рис. 10.11, б)

- еквівалентна амплитудно-фазова характеристика (рис. 10.11, в)

-інверсна амплитудно-фазова характеристика (рис. 10.11, г)

В результаті гармонійної лінеаризації двопозиційне реле замінюється лінійною статичною системою.

Приклад 10.2 Побудувати еквівалентні частотні характеристики для двопозиційного реле із зоною нечутливості (рис. 10.12, а). Оскільки характеристика однозначна, то ,

де

(рис. 10.12, б )

Рис. 10.12 Гармонійна лінеаризація двопозиційного реле із зоною нечутливості:

а - статична характеристика: б - вхідний і вихідний сигнал.

Згідно визначенню еквівалентних частотних характеристик маємо:

• еквівалентна амплітудно-частотна характеристика

яку зазвичай записують як функцію не амплітуди вхідного сигналу, а відношення (A/a), що відповідає вимірюванню А в одиницях а, і, отже,

- еквівалентна фазо-частотная характеристика

Графіки еквівалентних частотних характеристик зображені на рис. 10.13.

Рис. 10.13 Еквівалентні частотні характеристики двопозиційного

реле із зоною нечутливості:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ; г - інверсна АФХ.